Woran erkennt man, ob es eine Polstelle oder hebare Lücke ist?

Also ich habe heute eine Mathe Klausur zurückbekommen - leider nur ein 2 geworden. Bei der letzten Aufgabe, hatten wir folgende Funktion:

f(x) = (x^3-3x) / (x^2-9)

Davon mussten wir unter anderem die Definitionslücken angeben und ob es eine Polstelle oder eine hebare Lücke ist. Die Definitionslücken werden ja berechnet, in dem man die Nennerfunktion Null setzt, weil man ja niemals durch 0 teilen darf.

Ich habe als Defintionslücken x1 = 3 und x2 = -3 berechnet und hingeschrieben, dass es Polstellen sind. Was soweit auch richtig ist. Allerdings fehlte die Begründung, warum es denn eine Polstelle ist und keine hebbare Lücke. Ich habe es einfach so hingeschrieben / geraten und hatte eigentlich keine Ahnung...

Darum meine Frage: Wenn ich die Definitionslücken berechnet habe, wie bestimme ich dann, ob es eine Polstelle oder eine hebbare Lücke ist ?

Answer 1

[DepravedGirl]

Quelle -->

http://www.mathebibel.de/hebbare-definitionsluecke

Zitat -->

Unter einer hebbaren Definitionslücke x _ 0 versteht man eine Definitionslücke, die durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann und dadurch den Definitionsbereich erweitert.

Du musst also mit f(x) = (x^3-3x) / (x^2-9) eine Polynomdivision durchführen.

f(x) = (x^3-3x) / (x^2-9) = x + 6 * x / (x ^ 2 - 9)

In deinem Beispiel ist die Definitionslücke also nicht hebbar.

Comments

[Volens]

Dies ist der praktischere Rat: dividieren und nachgucken, ob die Zählerfunktion an den Stellen, wo der Nenner 0 wird, existent ist.
Noch schneller geht: einfach die "Nullstellen" der Nennerfunktion errechnen, in den Zähler einsetzen und gucken, ob es vernünftige Funktionswerte gibt.
Eine Polynomdivision kann manchmal etwas dauern.

[DepravedGirl]

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Answer 2

[FataMorgana2010]

Du musst an den Definitionslücken die Grenzwerte von links und rechts betrachten. Konvergieren die beide gegen denselben Wert (der natürlich nicht unendlich sein darf), dann ist das hebbar, konvergieren sie nicht, dann nicht. 

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Answer 3

[stekum]

Sei gegeben f(x) = Z(x) / N(x) .

Pol bei x = x₀ , wenn N(x₀) = 0 und Z(x₀) ≠ 0 .

Wenn N(x₀) = 0 und Z(x₀) = 0 , dann kann man kürzen durch (x - x₀) und erneut prüfen.