Fläche zwischen zwei Graphen?
Hey,
ich benötige Hilfe bei der Aufgabe 1b.
die Schnittpunkte habe ich bereits berechnet. X1=5 und x2=1
für jede Hilfe bin ich dankbar :)
noch Fragen ?
Nein danke :)
und die Antwort von AusmeinemAlltag ist dir nicht mal ein Klick für den Stern wert ?
Sowas habe ich nicht behauptet.hast du nichts anderes zu tun? Geht es dir wirklich nur über likes etc.
3 Antworten
f(x) = x ^ 2 - 3 * x + 4
g(x) = 3 * x - 1
Um 1b.) berechnen zu können muss man einige der Schritte bei 1a.) erledigt haben.
1a.)
f(x) und g(x) gleichsetzen :
x ^ 2 - 3 * x + 4 = 3 * x - 1
Alles auf die linke Seite bringen :
x ^ 2 - 6 * x + 5 = 0
Nullstellen mit der pq-Formel berechnen, die findest du im Internet :
x_1 = 1
x_2 = 5
Das sind die Schnittstellen, die Schnittpunkte kann man vervollständigen indem man die Schnittstellen entweder in f(x) oder in g(x) einsetzt. Da das für 1b.) nicht benötigt wird lasse ich das hier aber.
Da g(x) im gesamten Intervall 1 <= x <= 5 im Koordinatensystem stets oberhalb von f(x) liegt, das erkennt man wenn man zeichnet, kann man die Differenzfunktion bilden :
h(x) = g(x) - f(x)
h(x) = (3 * x - 1) - (x ^ 2 - 3 * x + 4) = - x ^ 2 + 6 * x - 5
Nun bildet man von h(x) die Stammfunktion H(x) :
H(x) = - (1 / 3) * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 - 5 * x + C
Diese Stammfunktion integriert man nun von x_1 bis x_2 :
(- (1 / 3) * 5 ^ 3 + 3 * 5 ^ 2 - 5 * 5 + C) - (- (1 / 3) * 1 ^ 3 + 3 * 1 ^ 2 - 5 * 1 + C) = ?
Weil C - C = 0 ist, fällt die Integrationskonstante heraus :
(- (1 / 3) * 5 ^ 3 + 3 * 5 ^ 2 - 5 * 5) - (- (1 / 3) * 1 ^ 3 + 3 * 1 ^ 2 - 5 * 1) = 32 / 3
Die Fläche zwischen f(x) und g(x) innerhalb der Schnittpunkte beträgt also 32 / 3 FE (FE = Flächeneinheiten).
Du berechnest das Integral der "Differenzfunktion" f(x)-g(x) (oder umgekehrt) in den Grenzen der Schnittstellen. Davon der Betrag ist die Lösung - rechnest Du nämlich "untere" Funktion minus "obere", dann kommt eine negative Lösung raus. (hier ist die Parabel die untere Funktion)
du kannst
Integral von 1 bis 5 von
g(x) - f(x)
bestimmen
oder auch von f(x) - g(x)
also z.B
int 1 bis 5
von
3x-1 - ( x² - 3x + 4) =
-x² + 6x - 5