Unstetigkeitsstellen und Definitionslücken berechnen?
f(x)= (x-1) * sgn (x^2 -1)
(x-1) und sgn(x^2 -1) sind soweit ich weiss beide stetig innerhalb ihres Definitionsbereiches, daher müsste f(x) schonmal stetig sein, wie berechne ich aber jetzt die Definitionslücken und sage welche Art (stetig hebbare Lücke [denke ich schonmal nicht wegen der sgn Funktion], Polstelle oder Sprungstelle)?
2 Antworten
Die Signumfunktion ist nicht stetig! Da wo das Argument das Vorzeichen wechselt, wechselt der Funktionswert von -1 auf +1 und dazwischen ist er 0.
D. h. Du hast hier quasi 3 Teilfunktionen:
f1(x)=-(x-1)=-x+1 für x²-1<0 <=> x<1 oder x>-1
f2(x)=0 für x²-1=0 <=> x=-1 oder x=1
f3(x)=x-1 für x²-1>0 <=> x>1 oder x<-1
(statt f1, f2 und f3 notiert man das natürlich normalerweise mit der geschweiften Klammer)
Jetzt musst Du die "kritischen Stellen", d. h. die Übergänge von einer Teilfunktion zur nächsten prüfen, also bei x=±1; ob der Graph einen Sprung macht oder nicht.
Definitionsbereich ist der komplette Zahlenbereich, also die reellen Zahlen, wenn nichts anderes vorgegeben ist.
Nein; guck Dir die 3 Teilfunktionen an und schaue wo sie jeweils gültig sind (mach evtl. ne Skizze): von links kommend gilt für x<-1 die Funktion f3, dann für x=-1 gilt f2; zwischen -1 und 1 (also auch bei x=0) gilt f1, dann für x=1 wieder f2 und für x>1 ist wieder f3 an der Reihe.
D. h. Du brauchst nur x=-1 und x=+1 untersuchen:
f1(-1)=-(-1)+1=2
f2(-1)=0
D. h. f3 brauchst Du schon nicht mehr testen, weil f1 und f2 bei x=-1 schon nicht übereinstimmen.
f1(1)=-1+1=0
f2(1)=0
f3(1)=1-1=0
d. h. an diesem Übergang haben alle 3 Teilfunktionen den gleichen (Grenz-)Wert, d. h. hier ist die Funktion stetig, d. h., insgesamt betrachtet, ist die Funktion überall außer an der Stelle x=-1 stetig.
Die definitionslücken sind einfach die teilmengen von r, die nicht der definitionsbereich sind
Ich komme jetzt gerade doch nicht ganz weiter, es existiert aujedenfall eine Sprungstelle, bei x=0?