Grenzwert bestimmen x * (ln x)?
Hallo,
ich hoffe mir kann jmd. bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Ich habe folgende Funktion gegeben:
f(x) = x * (ln x)^2 ; x > 0
Ich soll nun den rechtsseitigen Grenzwert gegen 0 für die Funktion berechne.
Als Hinweiß wurde die Regel von de l'Hospital genannt.
Was ich nicht verstehe eigentlich wendet man die Regel doch nur bei der Grenzwertberechnung von gebrochen rationalen Funktionen an.
Übersehe ich etwas?
3 Antworten
Was ich nicht verstehe eigentlich wendet man die Regel doch nur bei der Grenzwertberechnung von gebrochen rationalen Funktionen an.
Nein, es gibt bestimmte Formen, für die De l'Hospital geeignet ist.
Eine davon hast du hier: 0 * Unendlich
Wenn Du Dir den Satz genau durchliest, wirst Du feststellen, dass in den Voraussetzungen nirgends von "gebrochen rationalen Funktionen" die Rede ist.
Schreibe Deine Funktion als f(x) = ln(x)^2 / (1/x) und versuche, den Satz von l'Hospital auf diesen Quotienten anzuwenden.
Die Regel von L'Hopital besagt, dass der Ausdruck
lim x->a f(x)/g(x)=0/0 oder =unendlich/unendlich
als die Ableitungen der beiden Funktionen mit dem selben Grenzwert geschrieben werden kann, also als
lim x->a f'(x)/g'(x)
und wenn man glück hat kommt da dann eine einfache Gleichung raus.
Das darf man aber wirklich nur dann anwenden wenn 0/0 oder unendlich/unendlich vorliegt. In deinem Fall geht lim x->0 x*ln(x)^2 = 0*ln(0)^2=0*unendlich^2
Du kannst LH_Regel also nicht einfach anwenden. Aber du kannst den Fakt dass x=1/x^-1 ist nutzen. Soweit der Ansatz. Viel Spaß
Der Vollstaendigkeit wegen sei noch erwaehnt, dass der Grenzwert fuer die Ableitungen auch existieren muss. Es koennte naemlich sein, dass f(x)/g(x) einen Grenzwert besitzt, f'(x)/g'(x) aber nicht. Existieren beide, sind sie in oben genannten Faellen gleich.