Ableiten von drei Funktionen & Grenzwertberechnung (Mathe)?

Hallo,

kann mir jemand bei dieser folgenden Aufgabe helfen?

Folgende Funktionen:

a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe der Definition 6 (Siehe Bild) durch eine Grenzwertberechnung mit der x -> x0-Methode.

b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d. h. für h -> 0.

c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierbar ist, indem Sie den links- und den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x0 = – 1 berechnen und diese vergleichen.

Meine Lösung:

a)

f’(x0) = 3 * x^2 - 2 * x

= 2x - x

Ist das so richtig?

b) Genauso wie bei a)?

c) Wie gehe ich hier vor?

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen. :/

Answer 1

[gauss58]

zu a)

g: x → x² + 4x mit x ϵ R

(f(x) - f(x0)) / (x - x0) =

(x² + 4x - (x0² + 4x0)) / (x - x0) =

(x² + 4x - x0² - 4x0) / (x - x0) =

((x + x0) * (x - x0) + 4 * (x - x0)) / (x - x0) =

x + x0 + 4

lim [x → x0] (x + x0 + 4) = x0 + x0 + 4 = 2x0 + 4

Answer 2

[Willibergi]

Mache dir nochmal die Definition der Ableitung klar. In der Schule war es einfach, du hast die Ableitungsregeln gelernt und konntest immer eine Regel zum Ableiten anwenden. Was dabei aber meistens unter den Tisch fällt: Nicht alle Funktionen sind an allen Stellen differenzierbar. Und auch um zu zeigen, dass eine Funktion differenzierbar ist, reicht es nicht, eine Ableitungsregel anzuwenden (denn diese funktionieren nur richtig, wenn die Funktion differenzierbar ist).

Genau aus diesem Grund ist es wichtig, die tatsächliche Definition der Ableitung im Hinterkopf zu behalten, nämlich als Grenzwert des Differenzenquotienten, als Übergang der Sekantensteigung zur Tangentensteigung (dazu gibt es wunderbare grafische Veranschaulichungen, einfach mal googlen):

$f'\left(x_0\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

oder wenn wir

$h:=x-x_0$

setzen:

$f'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Die Funktion ist differenzierbar an dieser Stelle, wenn der Grenzwert existiert (und das muss überhaupt nicht immer der Fall sein). Differenzierbarkeit ist oft einfacher zu zeigen mit der ersten Definition. Ich rechne dir Aufgabe a) mal vor:

Wir sollen allgemein die Ableitung an einer beliebigen Stelle bestimmen (wenn wir zeigen, dass das immer geht, haben wir übrigens auch gezeigt, dass die Funktion an jeder Stelle im Definitionsbereich differenzierbar ist). Dazu betrachten wir den Differentialquotienten:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^3-x^2-\left(x_0^3-x_0^2\right)}{x-x_0}$

Einfache Umformungen führen zu:

$\lim_{x\to x_0}\frac{x^3-x_0^3-\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}-\frac{\left(x+x_0\right)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}\right)$

Jetzt ist ein einfaches Korollar aus der geometrischen Summenformel, dass für alle natürlichen n gilt:

$a^{n+1}-b^{n+1}=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^nx^ky^{n-k}$

Wenden wir das auf die linke Seite der Differenz an, erhalten wir:

$\lim_{x\to x_0}\left(\frac{\left(x-x_0\right)\left(x_0^2+xx_0+x^2\right)}{x-x_0}-\left(x+x_0\right)\right)$

wo wir links wieder einfach kürzen, bei

$\lim_{x\to x_0}\left(\left(x_0^2+xx_0+x^2\right)-\left(x+x_0\right)\right)$

landen und einfach einsetzen können. Als Grenzwert ergibt sich dann

$3x_0^2-2x_0$

und wir sind fertig. Das ist die formale Herleitung der Ableitung, die du locker flockig in zwei Zeilen heruntergeschrieben hast (mit der h-Methode wäre es aber um einiges kürzer gegangen). Und genau das sollst du in Aufgabe b) jetzt auch tun, nur eben mit der h-Methode: Den Grenzwert bestimmen.

In Aufgabe c) ist der Clue, dass ein Grenzwert nur existiert, wenn die Grenzwerte von links und von rechts gleich sind,. d.h. wir gehen im einen Fall davon aus, dass alle Zahlen, mit denen wir den Grenzwert annähern, kleiner und im anderen, dass alle größer sind. Das macht bei der Funktion h einen Unterschied, denn für Werte kleiner als 1 hast du eine andere Funktionsgleichung gegeben als für Werte größer als 1. Du sollst nun zeigen, dass der Grenzwert von links (der linksseitige Differentialquotient) nicht gleich dem Grenzwert von rechts (der rechtsseitige Differentialquotient) ist und die Funktion damit nicht differenzierbar ist (denn damit existiert der "allgemeine" Grenzwert nicht).

LG

Answer 3

[DerRoll]

Also, du denkst in eine völlig falsche Richtung. Erstens hast du bei a) die Potenz- und Summenregel angewendet statt der Definition über den Grenzwert, wie es gefordert ist. Zweitens, wie kommst du vom (richtigen) 3*x^2 - 2*x zum völlig falschen 2x - x????

Bei der c) mußt du einen "rechtsseitigen" und einen "linksseitigen" Grenzwert berechnen. D.h. du gehst davon aus dass dein x immer größer (bzw. kleiner) als -1 ist und berechnest unter dieser Voraussetzung jeweils den Differentialkoeffizienten. Stimmen rechts- und linksseitiger Grenzwert überein, ist die Funktion in -1 differenzierbar, wenn nicht dann nicht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[IHazNutella4U]

Könntest du vielleicht einen Beispiel geben oder mir das irgendwie erklären?._.

[DerRoll]

@IHazNutella4U

Hier

https://123mathe.de/differentialquotient-und-ableitung

findest du bei Beispiel 2 die Berechnung des Differentialquotienten für x^3 und für x^2 (allerdings mit der h-Methode und nicht wie gefordert mit x-x_0, aber der Zugang ist äquivalent). Das sollte dir weiter helfen. Ansonsten kannst du es auc hier

https://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiFp9_2ltnnAhWOwAIHHRKtBU0QwqsBMAB6BAgKEAQ&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3D7rU8cjW95Gw&usg=AOvVaw2Rqoo2VS8-CEhsiQqBT8dj

probieren.

Answer 4

[DeeBee77]

Kannst Du die h- und x0-Methoden schon?