Warum ist der logarithmus von negativen zahlen nicht definiert?
Also die frage steht ja oben, aber ist auch der log von null und 1 nicht definiert und wenn ja wieso , weil bei log3(1) zum Beispiel 0 rauskommt , was man doch ausrechnen kann?
danke im voraus
4 Antworten
Zunächst mal: Daß ln(1)=0 ist ganz leicht zu verstehen, da e⁰ so wie jede andere positive Zahl hoch Null den Wert 1 hat, und a=eᵇ sagt ja dasselbe aus wie b=ln(a)
Wenn Du die Exponentialschreibweise („Polarkoordinaten“) von komplexen Zahlen kennst, kannst Du Dir auch sehr leicht überlegen, daß ln(−1)=iπ , da −1 den Polarwinkel 180°=π hat und daher −1=exp(iπ). Mit der hoffentlich bekannten Beziehung ln(ab)=ln(a)+ln(b) folgt daraus, daß für jede positive Zahl x gilt
ln(−x) = ln(x)+ln(−1) = ln(x)+iπ,
der Logarithmus einer negativen reellen Zahl ist also eine komplexe Zahl mit einem transzendenten Imaginärteil.
Dieser Gedanke ist aber noch sehr unvollständig, da in der Polarkoordinatendarstellung der Winkel nicht eindeutig ist — 180° sind ja dasselbe wie −180° oder ±540° etc, also ist −1=exp(iπ)=exp(−iπ)=exp(3iπ)=exp(−3iπ) etc; jeder Winkel φ=(2n+1)π mit n=…,−2,−1,0,1,2,… ist gleichberechtigt und hat exp(iφ)=−1. Dieser Winkel ist aber genau das, was wir als imaginären Anteil des Logarithmus von −1 bekommen, deshalb hat dieser Logarithmus unendlich viele Lösungen:
ln(−x) = ln(x) + ln(−1) = ln(x) + (2n+1)iπ n∈ℤ
Das setzt die Nützlichkeit des Logarithmus für negative reelle Zahlen natürlich stark herab; trotzdem spielt er in der Mathematik eine Rolle, aber eben nicht in der Schule.
Man kann ihn auf dem komplexen Nebenzweig des Logarithmus definieren. Das ist Stoff der Vorlesung Funktionentheorie im 4. Semester Mathematik…
Dann so: e^x > 0 für alle x aus R. Somit kann die Umkehrfunktion log nur für positive Funktions-Argumente definiert werden…
aber wenn man jetzt zum Beispiel -1^2 rechnet kommt -1 raus und das ist kleiner als null , also somit negativ?
Weil die exponentialgleichung ja immer positiv sein muss , bei manchen ist es ja nicht so
Der Logarithmus von allen x, die kleinergleich 0 sind, ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.
Wie kann denn beim Hochrechnen 0 als Ergebnis oder eine negative Zahl rauskommen?
Ist dann die definitionsmenge also D( x€R l x <= 0) und gibt es einen logarithmus von 1 ?
Andersrum. Logarithmus von 1 gibt es, zur Basis 1 ist für alles außer von 1 nicht definiert
Doch, und zwar jede reelle Zahl, doch das kann der Taschenrechner nicht als Lösung ausspucken
Meine Antwort war unglücklich formuliert, aber das ist auch die Ausnahme. Rechne mal (-1) hoch eine andere Zahl, die nicht ungerade ist, zB 2,5 - da kommen dann komplexe Zahlen als Lösung raus. 3 ist theoretisch auch eine komplexe Zahl, da reelle Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind. Damit ist der Logarithmus von negativen Zahlen im Bereich der komplexen Zahlen definiert, aber nicht im Bereich der reellen Zahlen.
Na gut, Besserwisser, dann ist der Logarithmus von negativen Zahlen eben nach dir definiert
Weil die Umkehrung des Logarithmus, also die Exponentialfunktion, keine negativen Ergebnisse hat.
Danke aber ich bin erst in der 10. klasse und wollte eine ganz easy antwort darauf also allgemeine