Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Kniffel mit einem Wurf zu schaffen?
Ein Kniffel ist, wenn man fünf Würfel gleichzeitig würfelt und alle dieselbe Zahl zeigen.
Ist die Wahrscheinlichkeit einen Kniffel auf einen Wurf zu schaffen, 1/1296?
Denn, wenn man die fünf Würfel nacheinander wirft, kann der erste Würfel ja alles von eins bis sechs sein. Also ist die Chance, dass der Würfel nach dem Wurf irgendeine Zahl von eins bis sechs zeigt 6/6.
Die letzten vier Würfel müssen die Zahl zeigen, die der erste Würfel zeigt. Somit ist die Chance bei den anderen Würfeln jeweils 1/6.
6/6 * (1/6)^4 = 1/1296
Ich hab aber gelesen, das die Wahrscheinlichkeit 1/7776 ist.
Das verstehe ich nicht, da der erste Würfel ja nicht eine bestimmte Zahl sein muss.
Wenn man sagen würde, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen einser-Kniffel zu schaffen, dann wäre sie 1/7776.
3 Antworten
Bei fünf Würfeln gibt es 6 x 6 x 6 x 6 x 6 Möglichkeiten
sechs davon sind ein Kniffel also wieder durch 6
Ja deine Ausführungen sind richtig
Es gibt 10 Möglichkeiten 3 Einser auf fünf Würfel zu verteilen
Zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es für die restlichen beiden Würfel 25 Möglichkeiten keine Eins zu enthalten
Macht insgesammt für jede Zahl 250 Möglichkeiten zu einem 3erPasch
Also 1500 von 7776
Die Wahrscheinlichkeit beträgt sechs mal (ein Sechstel) hoch fünf.
Ein Sechstel hoch fünf weil alle sechs Würfel die gleiche Zahl haben, das kann man als fünfstufiges reduziertes Baumdiagramm oder fünfstufige Bernoullikette interpretieren. Als wenn man fünfmal hintereinander würfelt und die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Kniffel ist jedes Mal ein Sechstel.
Dann noch mal sechs, weil es sechs verschiedene Treffer, also sechs verschiedene Kniffel gibt, mit Einsen, Zweien, Dreien, .... Sechsen.
unterm Strich zusammengefasst also nur noch ein Sechstel hoch vier und das ergibt ein Tausendzweihundertsechsundneunzigstel odeer 1/1296.
Auch der
Ansatz, dass der erste Würfel eine beliebige Zahl zeigt und die nächsten vier Würfe dieser Zahl entsprechen müssen, ist korrekt. Er sagt ja auch nichts anderes aus als dass es sechs verschiedene jeweils gleich wahrscheinliche Kniffel geben kann
die Wahrscheinlicheit, dass drei Würfel eine bestimmte Zahl anzeigen, würde ich als binomialverteilt interpretieren. Das wäre dann 5 über 3 mal (5/6)^3 mal (1/6)^2. Dann noch mal 6, weil ja sechs solche Fälle auftreten können
fünf über drei, nicht fünf geteilt durch drei. Das ist der binomialkoffizient. fünf über drei ergibt übrigens 10, damit kannste weiter rechnen, wenn du binomialkoeffizienten noch nicht kennst
Du hast absolut recht.
Wie wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass drei von fünf Würfeln die gleiche Zahl zeigen? 6/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6?
Ist die Reihenfolge dabei egal?
Es ist etwas komplizierter als das, aber immer noch kein Hexenwerk:
Wir werfen wieder 5-mal hintereinander und wollen zunächst die W-keit ausrechnen, dass wir genau dreimal eine 6 würfeln. (Wenn du die W-keit berechnen willst, dass mindestens dreimal eine 6 fällt, musst du etwas mehr Aufwand betreiben).
Als erstes fragen wir uns, welche der 3 Würfel eine 6 zeigen. Es könnten die Würfel mit den Nummern (1,2,3) sein, oder auch (1,2,4) oder (1,2,5) oder ...
Die Anzahl der möglichen Verteilungen berechnet man mit etwas, das in der Mathematik der "Binomialkoeffizient" heißt. Die Lösung in diesem Fall lautet (5 über 3), da wir aus 5 Würfen 3 rauspicken müssen. Wenn du das in den Taschenrechner eingibst, erhältst du 10 Möglichkeiten.
Ok, nun halten wir eine der Möglichkeiten fest, z.B. die Möglichkeit (1,2,3). Die W-keit, dass genau im ersten, zweiten und dritten Wurf eine 6 fällt und in den anderen beiden nicht, beträgt 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6.
Nun stellen wir fest, das dasselbe auch für die anderen Verteilungen gilt, denn das einzige was bei den Rechnungen passiert, ist dass die Faktoren die Plätze tauschen. Das macht aber keinen Unterschied, da Multiplikation kommutativ ist.
Also haben wir 10 Möglichkeiten, die alle die W-keit (1/6)³ * (5/6)² haben. Da alle diese Mögleichkeiten verschieden sind, erhalten wir die Gesamtwahrscheinlichkeit:
10 * (1/6)³ * (5/6)².
Ok, nun wissen wir, wie wahrscheinlich es ist, genau drei 6en zu werfen. Aber eigentlich interessiert uns die W-keit für genau drei gleiche Augenzahlen. Wir bemerken, dass dieselbe Rechnung auch für genau drei 5en, genau drei 4en usw. funktioniert. Da all diese Ereignisse verschieden sind, erhalten wir eine Gesamtwahrscheinlichkeit von:
6 * 10 * (1/6)³ * (5/6)² ~ 19,29%
Eine Frage noch: Wenn wir aus fünf Würfeln drei rauspicken, gibt es ja 5 * 4 * 3 = 60 verschiedene Möglichkeiten. Wir berücksichtigen nicht die Reihenfolge dabei daher müssen die Möglichkeiten auf jeden Fall weniger werden, warum aber genau durch sechs?
Weil es für jede Möglichkeit 6 Arten gibt, wie sie zustande kommt. Wenn ich beispielsweise die ersten drei Würfel picke, könnte das durch die Reihenfolgen
(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) oder (3,2,1) zustande gekommen sein.
Die mathematische Erklärung für die 6: Es gibt 3 Möglichkeiten, den ersten Würfel zu picken; für jede dieser Möglichkeiten gibt es 2 Möglichkeiten, den zweiten Würfel zu picken und dann für jede der Kombinationen noch genau eine Möglichkeit, den letzten Würfel auszuwählen. Also gibt es 3 * 2 * 1 = 6 mögliche Reihenfolgen.
Allgemein: Wenn du n verschiedene Würfel picken willst, gibt es
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1 mögliche Reihenfolgen dafür.
Außerdem, zwei gleiche Zahlen bei 6 Würfel haben 15 Möglichkeiten
Also 15 * 1/6 * (5/6)^4
Ist gleich 1.2, was mache ich denn falsch?
Das Problem hierbei ist, dass meine Argumentation bei zwei gleichen Zahlen nicht mehr funktioniert. Zitat:
Ok, nun wissen wir, wie wahrscheinlich es ist, genau drei 6en zu werfen. Aber eigentlich interessiert uns die W-keit für genau drei gleiche Augenzahlen. Wir bemerken, dass dieselbe Rechnung auch für genau drei 5en, genau drei 4en usw. funktioniert. Da all diese Ereignisse verschieden sind, erhalten wir eine Gesamtwahrscheinlichkeit von:
Bei 3 gleichen Würfeln ist das korrekt, da wir nicht gleichzeitig drei 6en und drei 5en würfeln können, weil wir nur 5 Würfel zur Verfügung haben.
Bei 2 gleichen Würfeln stimmt das aber nicht mehr, denn ich könnte ja z.B. (6,6,5,5,4) würfeln und hätte dann sowohl genau zwei 6en als auch genau zwei 5en.
Das heißt, bei meiner Rechnung zähle ich den Wurf (6,6,5,5,4) zweimal mit rein, nämlich bei "genau zwei 6en" und bei "genau zwei 5en", obwohl es ein und derselbe Wurf ist. Das gleiche passiert natürlich mit anderen Würfen derselben Art. Daher kommt man auf eine zu hohe Zahl.
Wie wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass drei von fünf Würfeln die gleiche Zahl zeigen? 6/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6?
Ist die Reihenfolge dabei egal?