Kombinatorik-Pasch Wahrscheinlichkeit?
Beim Spiel “Kniffel” werden aus einem Becher 5 Würfel gleichzeitig geworfen. Ein sogenannter “Viererpasch” wird erzielt, wenn die Augenzahlen von genau 4 Würfeln die gleiche Zahl zeigen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf mit 5 Würfeln sogleich ein “Viererpasch” erzielt wird.
Also ich habe schon die Mächtigkeit des Ereignisraums bestimmt: |Ω| = 6^5 = 7776, aber wie komme ich jetzt auf die Mächtigkeit von A:' genau 4 Würfel haben diesselbe Augenzahl'
Die Lösung ist jedenfalls |A|= 150 und somit W(A) = 150/7776 , aber mir fehlt gerade irgendwie der Ansatz,wie man darauf kommt
1 Antwort
Hallo,
nimm an, Du würfelst fünfmal hintereinander mit einem Würfel und die ersten vier Würfe sollen die gleiche Augenzahl zeigen, der letzte eine andere.
Für den ersten Wurf lautete die Wahrscheinlichkeit 1, denn irgendeine Zahl kommt auf jeden Fall.
Die nächste Zahl, die übernächste und die überübernächste sollen die gleiche Augenzahl erzielen wie die erste Zahl, Chance also (1/6)^3.
Die letzte Zahl muß eine von den anderen Zahlen sein, also p=5/6.
Da es aber egal ist, welche der 5 Würfe zu einem Viererpasch gehören, multiplizierst Du alles noch mit 5, denn es gibt 5 Möglicheiten, wie sich die vier gleichen Zahlen unter den 5 Möglichkeiten verteilen können.
Das ergibt 1*(1/6)^3*(5/6)*5=25/1296, also der Wert, den Du nach Kürzen auch erhalten hättest.
Herzliche Grüße,
Willy
Die haben einfach die Zahl der erwünschten Fälle durch die Zahl der möglichen (7776) geteilt.
Wieviele erwünschte Ergebnisse gibt es denn?
Die eine Zahl, die nicht zum Viererpasch gehört, kann eine von 6 sein und an 5 möglichen Stellen auftauchen, macht 30.
Dann gibt es noch 5 mögliche Viererpäsche, die aus den anderen Zahlen gebildet werden.
30*5=150.
So kommst Du auf 150/7776, das Du durch 6 zu 25/1296 kürzen kannst.
Ah ja das macht Sinn, eine letzte Frage hätte ich noch,ist es nicht streng genommen so,dass es sich bei dem fünf mal Würfeln um ein Ziehen mit Zurücklegen OHNE Beachtung der Reihenfolge handelt? Weil beim Pasch werden die in dem Becher ja gleichzeitig geworfen,dh. die Reihenfolge müsste doch egal sein?. Aber in der Musterlösung haben sie trotzdem die Formel für das Ziehen mit zurücklegen MIT Reihenfolge benutzt also n^ k
Für die Ermittlung sämtlicher Kombinationen brauchst Du das Modell Ziehen mit Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge.
Ob nun nacheinander gewürfelt wird oder ob alle Würfel zugleich geworfen werden, macht für die Anzahl der Kombinationen und für die Wahrscheinlcihkeit einer einzelnen keinen Unterschied.
Stell Dir vor, Du würdest mit Würfeln unterschiedlicher Farben würfeln.
Dann gäbe es für einen Fünferpasch zwar nur 6 Möglichkeiten, nämlich Pasch 1 bis Pasch 6, für die Straße 1,2,3,4,5 aber 5!=120, denn in so viele Reihenfolge könntest Du die Zahlen bringen.
Du mußt bedenken, daß - da es mehrere Permutationen für die gleiche Straße gibt - auch die Wahrscheinlichkeit dafür steigt, eine zu werfen.
Das ist leider falsch. (n+k-1 über k) ist hier nicht anwendbar.
Aber die Würfel sind doch alle gleich, rein von der Logik her wieso sollte man sich farbige Würfel denken ? :D
Einfach nur, daß Du siehst, daß es für die gleichen Zahlen auf den Würfeln unterschiedliche Möglichkeiten gibt, sie zu bekommen.
Für das Spiel mag es egal sein, in welcher Reihenfolge die Straße oder etwas anderes gewürfelt wurde; für die Wahrscheinlichkeit, unter dem Becher zu erscheinen, macht es aber einen Unterschied, ob eine Kombination nur auf eine Art zu erwürfeln ist wie ein Kniffel mit lauter Fünfen oder ein Full Höuse mit zwei Vieren und drei Zweien. Du merkst es daran, daß ein Full House viel häufiger als ein Fünferpasch erscheint.
Nach Deiner Rechnung käme ein Pasch mit vier Fünfen und einer Eins genauso häufig vor wie ein Pasch mit fünf Fünfen, weil ja die Zahlen alle festgelegt sind und die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Das ist aber ein Trugschluß.
In Wahrheit kommt der Pasch mit vier Fünfen und einer Eins fünfmal so häufig vor wie ein Pasch mit fünf Fünfen, weil die Eins auf fünf unterschiedlichen Würfeln erscheinen kann.
Für den Zufall spielt hier die Reihefolge durchaus eine Rolle.
Nur eine Kombination von 7776 ist ein Pasch mit fünf Fünfen.
Dagegen gibt es fünf Kombinationen mit vier Fünfen und einer Eins.
Ah jetzt hab ich es verstanden,natürlich :) für das Spiel ist es egal,für die Wahrscheinlichkeit aber nicht. Das mit der Eins auf fünf verschiedenen Würfeln hat es mir dann klar gemacht letztendlich,vielen Dank.
Danke ist ja echt ziemlich simpel :) aber wie sind die auf 150 gekommen frage ich mich, in der Musterlösung,irgendetwas scheinen die anders gemacht zu haben