Wenn der Radius einer Kugel verdoppelt wird, verdoppelt sich dann auch das Volumen?

Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet:

V=4/3*Pi*r³

Daraus ergibt sich, dass bei einer Verdoppelung des Radius das Volumen sich verachtfacht.

Bei all diesen Formeln musst du eigentlich nur nachgucken, wie die gesuchte Größe in der Endformel wieder auftaucht:
steht in der Merkformel a und in der Ergebnisformel a², nimmst du beim x-fachen eben das Quadrat. Ob dann a dasteht oder r, ist egal.

Beispiel:    Würfelkante a    Seitenfläche a²     Volumen a³
Willst du a mal 5, wird die Fläche mal 25, das Volumen mal 125
             a mal 10                 a² mal 100               a³ mal 1000

Das kommt am häufigsten vor, denn es sind die gängigen Verwandlungszahlen für m, m² und m³ in unserem Dezimalsystem.

Wenn weitere Zahlen in der Formel stehen, die auch verändert werden, muss man diese mit berücksichtigen. Das ist bei dir nicht der Fall:
Eine Verdoppelung des Radius bedeutet also eine Verachtfachung des Volumens (2³).

Eine Kugel ist dreidimensional.

D. h. wenn der Radius um einen Faktor geändert wird, ändert sich das Volumen mit der dritten Potenz des Faktors, bzw. muss man das alte Volumen dreimal mit diesem Faktor multiplizieren, um das neue Volumen zu erhalten. Als Formel:

r2 = k * r1 => V2 = k^3 * V1 = V1 * k * k * k

In deinem Beispiel ist der Faktor k = 2. Damit ist

r2 = 2 * r1  und  V2 = 2*2*2*V1 = 2^3 * V1 = 8 * V1.

Übrigens ist die Oberfläche einer Kugel zweidimensional. Daraus folgt:

r2 = k * r1 => O2 = k^2 * O1

Generell gilt für ALLE Körper: Wenn man alle Seitenlängen des Körpers verdoppelt (sodass er gleich aussieht nur halt größer ist), so wird das Volumen 8-mal so groß. Somit gilt das auch für Würfel: Nehmen wir an, eine Strecke sein s. Das Volumen ist dementsprechend s^2. Nun verdoppeln wir die Seitenlängen auf 2s. Dann ist: V(Volumen)=(2s)^2=8s^2. Das gilt auch für unregelmäßige Körper, wichtig ist nur, dass sie nicht verformt werden.