Matheaufgabe mit 5 Kugeln, wie komm ich drauf?
Hay also ich habe ne Matheaufgabe auf und habe keine Ahnung wie ich auf den Lösungsweg komme. "Vier gleich große Kugeln mit dem Radius ´r´liegen so auf einer Tischplatte, dass ihre Mittelpunkte ein Quadrat bilden und benachbarte Kugeln sich berühren. Eine fünfte Kugel soll nun dazwischen gelegt werden. Wie gross darf das Volumen dieser Kugel höchstens sein?" Ich habe bereits eine Skizze angelegt, kapiere die Aufgabe aber trotzdem nicht.
5 Antworten
Du suchst das Volumen der roten Kugel auf dem Bild (ist zwar ein Kreis, aber du kannst dir ja denken, wie es als Kugel aussehen würde). Probier es mal!
Soll die 5. Kugel auch auf der Tischplatte liegen?
Oder geht es darum, dass die 5. Kugel von oben zwischen den 4 anderen Kugeln durchpassten soll?
Das ist eine wichtige Frage, denn wenn Sie auf dem Tisch liegen soll ohne durchpassen zu müssen, ist das ganze etwas komplizierter.
Deshalb frag ich ja!
Wenn diese Info nicht wichtig wäre, und die anderen bisherigen Antworten richtig wären, dann hätte man ja gleich von Kreisen anstatt von Kugeln sprechen können.
Die x-y-Ebene ist die Tischplatte. Skaliere alles mit 1/r. Die vier Kugeln haben dann den Radius 1 und die Mittelpukte (±1; ±1; 1). Mach' Dir klar, dass sie so auf dem Tisch aufliegen und ihre Mittelpunkte ein Quadrat bilden.
Die fünfte Kugel habe den Radius s und liegt um (0; 0; s). Die Nullen ergeben sich dabei aus der Symmetrie der Anordnung, und die Höhe ist ihr Radius s, weil die Kugel auf dem Tisch aufliegt.
Da sie alle anderen berührt, ist die Strecke von (0; 0; s) zu (±1; ±1; 1) genau so lang wie die Summe der Radien (s und 1):
√[(±1-0)²+(±1-0)²+(1-s)²]=s+1 ⇒ 2+1-2s+s²=s²+2s+1 ⇔ 2=4s ⇔ s=½.
Die Probe (Einsetzen in der ersten Gleichung) klappt: √(2+¼)=1+½
Skaliert man jetzt (rückwärts) mit r, haben die großen Kugeln wieder den Radius r, und die kleine den Radius r/2.
da musst du die Hypothenuse ausrechnen, die Kantenlänge des Quadrats ist ja gegeben, wenn du die Hypothenuse ausgerechnet hast, nimmste diese Minus 2x 'r' und fertig.
Also habs ohne Skizze gemacht, hoffe das ich kein Blödsinn erzählt habe :D
Bilde die Diagonale des Quadrates (ausrechnen) und ziehe davon 2r ab, dann hast du den Durchmesser der 5. Kugel! Eigentlich in Skizze ersichtlich!