Wie kann ich mit Mittelpunkt und Gleichung der Tangentialebene einer Kugel die Kugelgleichung, also den Radius ermitteln?
Da die Tangentialebene ja normal auf den Radius ist, hätte ich eine Normale auf die Tangentialebene aufgestellt und die dann mit der Tangentialebene geschnitten. Der Schnittpunkt wäre dann der eine Punkt, in dem die Tangentialebene den Kreis berührt. Mit dem könnte ich dann den Radius berechnen. Aber wie kann man im R³ zu nur einem einzigen Vektor einen Normalvektor aufstellen?
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1 Antwort
Du hast die Gleichung der Tangentialebene in Koordinatenform gegeben. Du kannst also direkt einen Vektor ablesen, der normal zur Ebene ist.
Wenn die Ebenengleichung
ach+by+cz=d ist,
Dann ist nämlich n=(a, b, c) ein normalenvekor der Ebene.
Du kannst damit nun eine Gerade aufstellen, die durch M geht und normal zur Ebene ist
Nämlich:
M + t*n, wobei t aus R kommt.
Bestimme nun den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Das ist dann Der Punkt der Kugel, an dem die Ebene die Kugel berührt.
Aber wozu brauchst du das?
Setze die Parameterform der Geraden in die Koordinatenform der Ebene ein und bestimme dann den Parameter t.
Den setzt du dann in die Parameterform ein und erhälst den Punkt. Fertig.
Dann ist aber die eine Gleichung in der Parameterform und die andere nicht. Wenn ich beide in die Parameterform oder beide in die implizite / explizite umwandeln will, brauche ich wieder einen Normalvektor