Wie ermittelt man den Mittelpunkt und den Radius der kleinsten Kugel?
...auf der die Punkte Q(2/-2/-2), U( Wurzel 6/0/Wurzel 6), A(-2/2/2), und D(- Wurzel 6/0/-Wurzel 6) liegen. Muss ich das zeichnen oder gibts da eine Formel ?
3 Antworten
Vektorrechnung: X = (x1 ; x2 ; x3 ) ; M = ( m1 ; m2 : m3 ) ; ( X - M )^2 = r^2 ;
Wenn man für X die gegebenen Punkte einsetzt, hat man 4 Gleichungen für 4 Unbekannte.
Es sind 4 Gleichungen und die 4 Unbekannten sind m1, m2, m3 und r. Das Auflösen dieses Gleichungssystems kann allerdings aufwendig werden.
Und wie sieht ein so ein gleichungsystem jetzt allgemein aus?
ich kann dir hier jetzt nicht mehrere Stunden Unterricht in analytischer Geometrie geben. aber vielleicht hilft dir der folgende Link weiter:
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kugelgleichungen
Im Allgemeinen gibt es durch vier Punkte genau eine Kugel − außer die Punkte liegen in einer Ebene auf einem Kreis. Da ausdrücklich nach der kleinsten Kugel gefragt ist, vermute ich, dass das hier so ist.
Ich würde daher so vorgehen:
Beobachtung 1: Alle vier Punkte haben den selben Abstand 2√3 vom Ursprung. Sie liegen also alle auf der Kugel K um den Ursprung mit Radius 2√3.
Beobachtung 2: U und D liegen spiegelsymmetrisch zum Ursprung=Kugelmittelpunkt.
Vermutung: K ist die kleinste Kugel, auf der alle vier Punkte liegen.
Beweis: Angenommen, es gäbe eine weitere Kugel K' mit Radius r<2√3. Alle Punkte von K' sind paarweise höchstens 2r<4√3 voneinander entfernt (Dreiecksungleichung). Die Punkte U und D haben den Abstand 4√3. Sie können also nicht beide auf K' liegen ⇒ Widerspruch!
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Wenn Du meine Beobachtungen nicht teilen kannst, musst Du den harten Weg nehmen. Allerdings ist es nicht ratsam, alle vier Punkte in die allgemeine Kugelgleichung (x-m)²=r² einzusetzen, weil Du dabei 4 quadratische Gleichungen erhältst. Das ist wirklich ätzend!
Etwas leichter geht es, wenn Du die Mittelebene von zwei Punkten A und B berechnest: (x–(A+B)/2)·(B–A)=0. Dort liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die A und B enthalten.
Schneide also die Mittelebene E₁ von Q und A mit der Mittelebene E₂ von U und D. Der Mittelpunkt der gesuchten Kugel muss auf der gemeinsamen Schnittgeraden g₁₂ liegen. (Wenn sich die Ebenen nicht schneiden, gibt es keine Kugel, die alle vier Punkte enthält, und wenn die Ebenen zusammenfallen, wähle ein anderes Paar, z.B. Q und U).
Gewöhnlich nimmt man jetzt eine dritte Mittelebene E₃ (z.B. zu A und U) und schneidet sie mit g₁₂. Das liefert dann den gesuchten Kugelmittelpunkt. Nur wird das hier nicht klappen, weil g₁₂ ganz in E₃ liegt. Deshalb kannst Du Dir die Rechnung eigentlich sparen.
Als letzten Schritt musst Du für jeden Mittelpunkt m∈g₁₂ den Radius r(m) bestimmen (=Abstand zu irgendeinem der Punkte A, D, Q oder U) und minimieren. Zu diesem minimalen m* und r(m*) schreibst Du nun die Kugelgleichung auf und bist fertig. Du kannst natürlich probehalber alle vier Punkte in die Kugelgleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass Du keinen Rechenfehler gemacht hast.
Kannst du dir hier anschauen und auch ausrechnen lassen :
Da kann man eine Kugel durch 4 Punkte legen lassen.
nur, wenn die 4 Punkte nicht in einer Ebene liegen. Sonst kommt nur:
Es gibt keine
solche Kugel
oder die Kugel ist
nicht eindeutig!
Bedeutet das, dass es dann nicht berechenbar ist bzw. es mehrere Lösungen gibt, oder dass nur die Webseite von Arndt Brünner es nicht berechnet bekommt ?
Die Webseite klammert solche Fälle der Einfachheit halber aus.
Für die gestellte Aufgabe muss man aber alle Lösungen finden und dann die mit dem kleinsten Radius herauspicken. Die Formeln dafür stehen zwar auf der Webseite, aber beim bloßen Anschauen kann einem schnell die Lust aufs Rechnen vergehen.
Ich habe es jetzt mal mit den Punkten des Fragestellers ausprobiert, sqrt(6) habe ich dabei allerdings als Dezimalzahl geschrieben :
Q(2/-2/-2)
U( 2.449489742783178/0/2.449489742783178),
A(-2/2/2)
D(- 2.449489742783178/0/- 2.449489742783178)
Und die Arndt-Brünner-Webseite berechnet :
xm = 0
ym = 0
zm = 0
r = 3,464101615138
O = 150,796447372331
V = 174,124738966522
Die Webseite kommt also zu einem Ergebnis, ob es auch korrekt ist kann ich auf die Schnelle nicht überprüfen.
Ich habe es jetzt mal mit dem ersten Punkt überprüft :
sqrt((2 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(12) = 3.4641016151377544
Simmt also, der erste Punkt liegt definitiv auf der Kugel und ich wette die anderen auch.
Ja, alle Punkte liegen auf der von Arndt Brünners berechneten Kugel.
Ich habe es jetzt mit allen Punkten überprüft.
Cool! Ich habe es mit √5≈2.4494897 versucht, und dabei kam nur obige Meldung.
Deine Näherung für √6 scheint gerade noch „schlecht genug“ zu sein, damit die vier Punkte in der Rechnung nicht in einer Ebene liegen, aber trotzdem gut genug ist, um den gleichen Abstand zum Ursprung zu haben wie (–2,2,2).
Aber seltsamerweise erhalte ich mit Deinem Wert auch nur die Fehlermeldung. Es hängt also auch davon ab, wie die JavaScript-Engine intern rundet.
Ja, das mit dem numerischen Rechnen hat so seine Tücken.
Es ist oftmals schwierig mit Programmen zu arbeiten, die man nicht selbst geschrieben hat, so zumindest meine bisherige Erfahrung.
Liegt daran, weil meist nicht alles bis ins kleinste Detail für die Anwender dokumentiert ist.
Punkt liegt definitiv auf der Kugel
Sicher? Denn r = 3,464101615138 ≠ 3.4641016151377544. In Deinem Browser haben beide Zahlen die gleiche Gleitpunktdarstellung. Deshalb bekommst Du eine Lösung angezeigt. Mein Browser rundet wohl anders und findet damit keine Lösung.
Ja, der zweite Wert stammt von Wolfram Alpha (der natürlich ebenfalls gerundet ist), und das zeigt auch, dass der erste Wert (von der Arndt Brünner - Webseite) gerundet wurde.
Also wenn ich die vier Punkte jeweils einsetze wie bekomme ich dann noch m heraus ?