Oberfläche der Kugel , Formel?
Ich möchte gerne wissen wie Mathematiker auf die Formel für die Oberfläche der Kugel gekommen sind (o= 4XPiXr hoch 2) .ich frage mich woher die 4 Pi und der Radius her kommt
3 Antworten
Der Radius kommt daher, dass er eine Kugel bereits vollständig charakterisiert. D.h. kennt man den Radius r, dann kennt man auch die Oberfläche.
Dass die Oberfläche mit r^2 gehen muss, kann man schon aus Dimensionsbetrachtungen schließen: Der Radius wird in Meter gemessen, die Oberfläche in Quadratmeter - und da ja nichts anderes als der Radius maßgeblich ist, muss es r^2 sein.
Bleibt noch ein konstanter Faktor, der r^2 und die Oberfläche verbindet. Dass der 4xPi ist, liegt zu einem guten Teil daran, dass man Pi so festgelegt hat, wie man es hat: Als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises.
Direkt ermitteln kann man diesen Faktor über die Integration in Kugelkoordinaten. Diese Art von mehrdimensionalem Integral geht aber über die Schulmathematik hinaus.
Als erstes brauchst du eine Parametrisierung der Kugel, am besten in Kugelkoordinaten (Radius und zwei Winkel).
Dann guckst du dir an, wie die Formel für die Oberfläche an einem bestimmten Punkt aussieht, das wird dann eine Funktion abhängig von der Parametrisierung. Dann integrierst du das ganze und bist fertig.
Es ist nachts und ich bin am Handy, bei Interesse bitte kommentieren und ich schreibe es dir auf, wie ich es machen würde (natürlich gibt es viele andere Wege, das zu machen, ich finde den nur sehr einfach).
LG
