1. Du legst in jeder Schleifeniteration einen neuen Array an. Was du natürlich machen willst ist das neue Element in den Array einfügen, das ist etwas komplett anderes.
2. (Statische) Arrays eignen sich nicht für das repetitive Einfügen von Elementen, da du jedes Mal, dass du deinen Array vergrößerst, den gesamten Array kopieren darfst. Nutze dafür lieber die Klasse java.util.ArrayList<Integer>, da kannst du dir einfach vor der Schleife einen Container anlegen und in jedem Schleifendurchlauf zahlen.add(zahl) schreiben. Wenn du nach dem Einlesen unbedingt einen statischen Array haben willst, kannst du die toArray()-methode verwenden.
3. Scanner sollten geschlossen werden, nachdem du sie nicht mehr brauchst.

Du hast einen Schreibfehler gemacht. Die UnityEngine implementiert eine Klasse Namens "Rigidbody2D", mit kleinem "b". Darüber hinaus würde ich in Zukunft die Benennung der Variablen vereinheitlichen ("Rigit" zu "Rigid").

LG

Das Supremum bezieht sich immer auf reelle Zahlen! Dass in deiner Menge nur rationale Zahlen drin sind bedeutet nicht, dass das Supremum rational sein muss, dein Beispiel ist genau das klassische Beispiel dafür. Und in der Tat ist sqrt(3) das Supremum deiner Menge.

1) sqrt(3) ist eine obere Schranke: Für alle rationalen Zahlen mit x^2 < 2 gilt offensichtlich x < sqrt(2).

2) Es gibt keine kleinere obere Schranke: Sei a < sqrt(3) eine beliebige reelle Zahl, wir zeigen jetzt, dass a keine obere Schranke sein kann. Es ist bekannt aus der Definition der reellen Zahlen (egal, wie ihr die reellen Zahlen definiert [und da gibt es viele Wege!], kristallisiert sich dieser Fakt immer relativ schnell raus), dass zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl ist. Sei also q eine rationale Zahl zwischen a und sqrt(3), also a < q < sqrt(3). Die rechte Ungleichung quadrieren ergibt q^2 < 3, also muss q in deiner Menge enthalten sein. Da q > a, ist a keine obere Schranke.

Aus diesen zwei Fakten folgerst du wirklich rigoros und per Hand, dass sqrt(3) das Supremum deiner Menge ist.

LG

Für den Kern musst du einfach nur x+y = 0 nach x,y und z auflösen.

Offensichtlich ist der z-Wert für den Funktionswert irrelevant, da f(0,0,1) = 0 und damit f(x,y,z) = f(x,y,0) + f(0,0,z) = f(x,y,0).

Danach bekommst du noch die Relation x = -y, also ist ein weiterer Basisvektor (1,-1,0). Wir haben jetzt zwei Basisvektoren gefunden. Wenn wir prüfen, dass f surjektiv ist, dann haben wir dim im(f) = 1, damit dann auch dim ker(f) = 2 und wir haben also den gesamten Kern gefunden.

Wir wollen also für irgendein reelles r einen Vektor (x,y,z) finden, sodass f(x,y,z) = r. Wähle einfach (r,0,0) und du hast f(r,0,0) = r, also ist f surjektiv und damit ist der Kern genau L((1,-1,0),(0,0,1)).

LG

Ja, der Unterschied ist sehr groß.

Wie ich Analysis für Ingenieure kenne, ist es eine abgespeckte Version von Analysis für Mathematiker. Je nach Uni wird der Schwerpunkt wirklich nur auf das Berechnen gelegt (dann sind die beiden Kurse überhaupt nicht vergleichbar), oder die Vorlesung ist tatsächlich beweisorientiert, es werden aber technische Details ausgelassen. In meiner Analysisvorlesung für Mathe haben wir uns die ersten 5 Wochen mit der Axiomatisierung der Mengenlehre und der Konstruktion von R befasst, in einem Kurs für Ingenieure ist dieser technische Teil vollkommen überflüssig und wird höchstens angeschnitten, dafür hat man dann später mehr Zeit um viele Beispiele zu machen und auf Verständnis zu bauen. Auch in den anderen Themen (Differentialrechnung, Integralrechnung, Fourieranalysis, Differentialgleichungen) wird eher auf Intuition gebaut als darauf, dass du am Ende alles ohne Probleme beweisen kannst. Insgesamt also wohl doch ähnliche Themen, aber durch andere Motivation ergeben sich andere Schwerpunkte.

LG

Stell die beiden Brüche als p = a/b bzw.q = c/d ab, sodass b und d beide positiv sind (falls p oder q negativ sind, hast du das negative Vorzeichen also bei a bzw. c).

Dann gilt p = a/b [<,>,=] c/d = q genau dann wenn ad [<,>,=] bc.

Bsp: 2 * 34 = 68 > 3 * 9 = 27, also gilt 2/3 > 9/34.

LG

Nein.

Du hast 2^(2n) = 2^n * 2^n, also für alle c > 0:

2^(2n) <= c * 2^n, nur wenn 2^n <= c, äquivalent zu n <= log(c).

Also existiert für alle c ein n, sodass 2^(2n) > c * 2^n, also 2^(2n) nicht in O(2^n).

LG

Riecht nach Backtracing. Viel mehr zur Frage "wieso" kann ich dazu auch nicht sagen, aber ich habe das Gefühl damit kann man auf jeden Fall einen guten Anfang machen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Backtracking

LG

Was du gesehen hast ist schon die Hälfte des Satzes: Eine lineare Abbildung f: V->W ist eindeutig durch das Bild einer Basis bestimmt, bedeutet präzise: Sind f, g: V -> W lineare Abbildungen, sodass f = g auf einer Basis, dann f = g überall. Das ist alles schön und gut, aber die eigentliche lineare Fortsetzung ist die andere Richtung:

Hast du eine Basis {v1,...,vn} = B und eine Abbildung f': B -> W, du wählst also die Funktionswerte auf der Basis; dann existiert eine Abbildung f: V -> W, sodass f|B = f' (soll bedeuten: f eingeschränkt auf B ist f'), f ist eine Fortsetzung von f' auf V. Aus der obigen Überlegung ist diese Abbildung (falls sie denn existiert!) eindeutig. Da sie existiert (und das ist das Prinzip der linearen Fortsetzung), bekommst du also zu jeder Wahl genau eine Abbildung. Das bedeutet: Lineare Abbildungen V -> W stehen in Bijektion zu (beliebigen) Funktionen B -> W. Geschrieben: Hom(V,W) =~ Func(B,W) (zumindest im endlich-dimensionalen Fall, da wir uns sonst erst einmal fragen müssen, was "Basen" von unendlicher Dimension überhaupt sein sollen).

Wenn deine Basen sehr groß werden, dann wird es sehr umständlich, lineare Abbildungen explizit anzugeben. Es ist deshalb sehr toll zu sagen: "Sei f die Lineare Abbildung, die v1 auf x und v2 auf y schickt", eine Formel für solche Sachen zu finden wird einfach sehr hässlich wenn deine Räume nicht mehr niedrig-dimensional sind. z.B. die formelle Ableitungsfunktion d auf dem Vektorraum P der reellen Polynome: d ist die eindeutige Abbildung, sodass d(x^n) = n * x^(n-1). Durch diese Gleichung ist die Ableitung bereits eindeutig bestimmt (da {x^n | n in N} eine Basis von P ist}, du musst also keine langen Summen für beliebige Polynome mehr schreiben, jeder weiß welche Abbildung gemeint ist, und deine Konstruktion ist garantiert wohldefiniert.

Ein Beispiel wo man solche Sachen wirklich braucht: Im Laufe deines Studiums wirst du hoffentlich Dualräume kennenlernen. Ist V ein K-Vektorraum, dann ist der Dualraum V* definiert als die Menge der linearen K-Funktionale, also V* = {f: V -> K | f linear} = Hom(V, K). Die Elemente von V* hinzuschrieben wird auch ziemlich schwer, aber du kannst ausnutzen, dass die Elemente von V* lineare Abbildungen sind. Du musst also für ein Element f in V* nur angeben, wie f(e1), f(e2),... aussieht. Wenn z.B. f(e1) = 2, f(e2) = 5, und für alle anderen Basisvektoren f(ek) = 0, dann ist f eindeutig bestimmt und du kannst f = 2 * (e1*) + 5 * (e2*) schreiben (ei* ist das eindeutige Funktional, sodass (ei*)(ei) = 1 und (ei*)(ej) = 0). Diese Darstellung macht es einfach zu sehen, dass in allen leichten Fällen V und V* dasselbe sind (leichte Fälle = V ist endlichdimensional). Hättest du die lineare Fortsetzung nicht, dann wären Dualräume eine ziemlich komplizierte Sache, die Funktionale wären unglaublich hässlich und alle Physiker die sich damit rumschlagen würden die Mathematik noch mehr hassen. Da wir aber die lineare Fortsetzung haben, sind Dualräume eigentlich ein ziemlich einfaches Thema.

LG

Zur a): Ich weiß nicht ob du auf dem Schlauch stehst oder wo dein Problem hierbei ist, die Äquivalenzrelation ist gegeben auf der Menge End(V,V) der Endomorphismen auf V durch f ~ g <-> f und g sind ähnlich. Du musst also drei Sachen zeigen:

1. f ist immer ähnlich zu sich selbst, für alle Endomorphismen f. Welche Basis solltest du hier nehmen, um die Aussage offensichtlich zu machen?
2. Wenn f ähnlich zu g ist, dann ist g ähnlich zu f. Du hast also g = hfh^-1, dann kannst du aber auch schreiben: f = ...g..., also ist g zu f ähnlich.
3. Wenn f ähnlich zu g ist und g ähnlich zu k (ich belasse mal h als den Buchstaben für den Isomorphismus zur Ähnlichkeit), dann ist f ähnlich zu k. Wenn du g = hfh^-1 und k = h'gh'^-1 hast, dann ist k = ...f..., hier musst du einfach nur einsetzen.

Die Definition von ähnlichen Matrizen ist dieselbe: Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix H gibt, sodass B = HAH^-1. Du musst nurnoch zeigen, dass diese beiden Definitionen sozusagen äquivalent sind, wenn du eine Matrix mit ihrer induzierten Abbildung identifizierst. Ich mach dir einmal die Hin-richtung, damit du siehst, was getan werden muss:

Seien f und g ähnliche Endomorphismen, also es existiert ein Isomorphismus h, sodass g = hfh^-1. Dann gilt für jede Basis B: MB(g) = MB(hfh^-1) = (Verknüpfung von Homomorphismen ist identisch mit Matrizenmultiplikation) MB(h)MB(f)MB(h^-1) = (Matrix des Inversen ist Inverses der Matrix des Homomorphismus) MB(h)MB(f)MB(h)^-1, also sind MB(f) und MB(g) ähnlich (denn: da h ein Isomorphismus ist, ist MB(h) invertierbar und du hast genau die Definition von Ähnlichkeit von Matrizen).

Die Rückrichtung ist wirklich komplett analog, du musst dir halt genau diese Identifikation: Homomorphismus ~~ Matrix, Verknüpfung ~~ Multiplikation, Inverse Abbildung ~~ Inverse Matrix zunutze machen.

LG

Das ist der Fall, wenn die Funktion total differenzierbar ist. Das bedeutet nämlich, dass eine lineare Abbildung A für jeden Punkt existiert, sodass die Richtungsableitung in Richtung v durch Av induziert ist (und dass sich dieses A natürlich stetig ändert, wenn du den Punkt in dem du differenzierst änderst). Hast du dann zwei linear-unabhängige Richtungen v1 und v2, dann kannst du jede andere Richtung schreiben als v = av1 + bv2 und dementsprechend wird die Richtungsableitung in Richtung v induziert durch Av = aAv1 + bAv2 = a * 0 + b * 0 = 0.

Ist die Funktion jedoch nicht total differenzierbar, dann hast du diese lineare Abbildung nicht mehr und du kannst deshalb die anderen Richtungsableitungen a priori nicht mehr aus deinen zwei "Basis"-ableitungen herleiten. Solch ein Gegenbeispiel hat BatesFan gegeben, die Richtungsableitung in x-Richtung und y-Richtung sind 0; da die Funktion nicht total differenzierbar ist, kannst du aber nicht auf die anderen Richtungen schließen, und tatsächlich - es existiert eine Richtungsableitung, die nicht 0 ist.

LG

Wenn eine Funktion f: (a,b) -> R differenzierbar ist, dann sind die Extremstellen die Punkte x, an denen f'(x) = 0 gilt. Deine Funktion ist aber nicht im gesamten Inneren differenzierbar, deshalb kann es sehr wohl auch andere Extremstellen geben.

In deinem Beispiel: Deine Funktion ist auf (-3,-1] definiert, aber nur auf (-3,-1.5) und (-1.5,-1) differenzierbar, deshalb sind deine möglichen lokalen Extremstellen:

1. Die Punkte im differenzierbaren Bereich, an denen f'(x) = 0, also die herkömmlichen Extremstellen in (-3,-1.5)U(-1.5,-1)
2. Die nicht-differenzierbaren Punkte, bei Dir der Punkt -1.5
3. Die Randpunkte, bei Dir der Punkt -1. Diesen Punkt musst du hinzunehmen, da z.B. unabhängig von der Ableitung die Funktion (f: [0,1] -> R, f(x) = x) ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1 hat.

Diese möglichen Punkte musst du Schritt für Schritt durcharbeiten, um lokale Minima und Maxima zu finden.

LG

Kennst du den Zwischenwertsatz? Dieser Fixpunktsatz ist eine direkte Konsequenz davon. Der Zwischenwertsatz sagt aus: sind a < b, sodass f(a) >=0, f(b) <=0, dann existiert ein x in [a,b] sodass f(x) = 0, wörtlich: hast du einen Vorzeichenwechsel, dann hast du auch eine Nullstelle.

Du hast also eine Funktion f: [0,1] -> [0,1] und definieren g(x) := f(x) - x.

Wenn du dir jetzt die Endpunkte anschaust, hast du f(0) >= 0, also g(0) >=0. Außerdem hast du f(1) <= 1, also g(1) <= 0. Der Zwischenwertsatz garantiert dir eine Nullstelle von g, du hast also ein x, sodass g(x) = 0 = f(x) - x, daraus folgt f(x) = x.

LG

Hierzu ein kleines Lemma das dir helfen könnte:

Sind A ein Orthogonalsystem (eine orthogonale linear-unabhängige Menge) und B ein Orthogonalsystem, sodass AUB eine Orthogonalbasis von V ist, dann sind Span(A) und Span(B) orthogonale Komplemente.

Was hat das mit deiner Frage zu tun? Immer wenn du eine Orthogonalbasis X = {v1,v2,...,vn} hast, dann nimmst du Dir eine Aufteilung von X in zwei Mengen, das sind Orthogonalsysteme die zusammen eine Orthogonalbasis bilden, also sind die Spans orthogonale Komplemente.

Bilde also eine Orthogonalbasis {(0,1,2),v2,v3}, diese v2 und v3 kann man mit bestimmten Verfahren finden (z.B. Basisauffüllverfahren + Gram-Schmidt-Verfahren), dann ist Span{v2,v3} das Orthogonale Komplement zu Span{(0,1,2)}.

LG

Führe eine Partialbruchzerlegung durch, du kannst dein Polynom zerlegen in Summen von Brüchen.

Brüche der Form 1/(z - c) kannst du Umformen in 1/c * 1/(z/c - 1) = c'/(z' - c), dafür kannst du die geometrische Reihe anwenden.

Der Konvergenzradius ist der Abstand des Entwicklungspunkt zur nächsten Polstelle, das ist für Polynome in C ganz nützlich.

LG

Wir teilen unsere Reihe auf in a_n = 1/n und b_n = 1/n^2.

Da alle Terme positiv sind: Wenn die Reihe von A_n konvergent wäre, dann wäre sie auch absolut konvergent, wir dürfen also Summanden vertauschen (daa dürfen wir im Allgemeinen nicht, siehe "Riemannian rearrangement theorem").

Dann ist aber der Grenzwert der Reihe nach der Umordnung gerade der Grenzwert der Reihe von 1/n^2 für n = 2k+1 + der Reihe von 1/n für n = 2k. Erste Reihe ist <= Der Reihe von 1/n^2, was konvergiert, die zweite Reihe ist 1/2 * (Reihe über 1/n), diese Reihe ist aber divergent, was ein Widerspruch ist (Wäre A_n konvergent, könnten wir also auf die Konvergenz der harmonischen Reihe schließen).

LG

Ja. Das eigentliche Paradoxon ist, dass man denkt, dass es keinen großen Unterschied zwischen 99% und 98% gibt.

Rechne aber mal mit der Trockenmasse. Du kannst das Kartoffelparadoxon folgendermaßen umformulieren:

"Es werden 100 kg Kartoffeln mit 1% Trockenanteil geerntet. Nach einem Tag ist der Trockenanteil doppelt so hoch (2%), wieviel wiegt der Wasseranteil?"

Jetzt sollte es offensichtlich sein, dass, damit der Trockenanteil sich verdoppelt, dass Wasser in Menge des halben Gesamtgewichts verdunsten muss: das Gesamtgewicht beträgt 100kg, wovon 99 Wasser sind, 50 kg Wasser müssen verdunsten, wir haben also noch 49 kg Wasser übrig.

LG

Ich habe Code in einem meiner Projekte gefunden, das genau deine Aufgabe erfüllt.

Du brauchst zur Benutzung ein:

typedef struct {

int rows;
int columns;
int ** data;
} mat;

data kann auch irgendein anderer Datentyp wie z.B. double sein. Der Code zum initialisieren der Matrix findet sich hier: https://pastebin.com/cKGp7XgT

Zum Allokieren einer Matrix einfach einen Pointer initialisieren:

mat * M = init_matrix(3,3)

Auf die Einträge kannst du zugreifen über data, z.B.:

printf("%i", M->data[2][1]);

Um Speicherlecks zu verhindern, am Ende den Speicher wieder freigeben, mit:

destroy_matrix(M);

LG

Formell genauso wie es die Definition verlangt, denn (x,y) ist formell EIN Element aus deinem Definitionsbereich. Da du aber zwei Freiheiten hast, musst du am besten eine Abhängigkeit finden, um auf einen einfachen Fall zurückzukommen.

1. Betrachte f(x,0) = x, f(x,1) = x + 1. f(x,0) allein ist bereits surjektiv, also ist f surjektiv. f(x,1) ist aber auch surjektiv, also ist f nicht injektiv. (Sollte klar sein: Wenn du eine Funktion f in zwei Funktionen mit disjunktem Def-bereich aufteilen kannst, die surjektiv sind, ist f surjektiv aber nicht injektiv.

2. f(x,y) = x^2 + y^2 - 1 >= -1, also kann f nicht surjektiv sein. Zur Injektivität lass ich dich selbst ein wenig überlegen (rechne mit Beträgen).

3. Du hast eine lineare Abbildung gegeben, es macht also Sinn, die Aufgabe durch Gleichungssysteme zu finden.

LG

Wenn deine Folge a(n) gegen 0 konvergiert und einen positiven Wert a(n) = p besitzt, dann sind nur endlich viele Werte a(n) über p (weil ab einem N gilt: n > N -> |a(n)| < p). Das Maximum max{a(n)} ist also max{a(n) | a(n) >= p}, die rechte Menge ist endlich, also existiert das Maximum.

Also müssen ALLE Folgenglieder unter 0 liegen. Ein Beispiel hierfür ist z.B. a(n) = -1/n und ähnliche Folgen, die monoton steigend gegen 0 konvergieren, aber nie 0 als Funktionswert haben.

Allgemein gilt (zum Merken, immer wieder nützlich!): Wenn eine Folge a(n) konvergiert und kein Maximum besitzt, sind alle Folgenglieder unter dem Grenzwert, wenn sie kein Minimum besitzt, sind alle Folgenglieder über dem Grenzwert. Wenn deine Folge gegen ein x konvergiert und du ein n hast, sodass a(n) >= x, dann besitzt a ein Maximum. Wenn deine Folge gegen x konvergiert und du ein n hast, sodass a(n) <= x, dann besitzt deine Folge ein Minimum. Der Beweis der Aussagen ist analog zu dem Absatz oben, der deine Frage behandelt hat. Setze b(n) = a(n) - x, das ist eine Nullfolge und damit kannst du weiter argumentieren.

LG