Supremum von {x^2 < 3 | x element Q}?
Sqrt(3) ist ja nicht in den Rationalen Zahlen enthalten, aber z.B. 2 ist trotzdem eine obere Schranke der Menge in den Rationalen Zahlen. Aber was ist dann die kleinste obere Schranke, wenn es nicht sqrt(3) ist ?
2 Antworten
Das Supremum bezieht sich immer auf reelle Zahlen! Dass in deiner Menge nur rationale Zahlen drin sind bedeutet nicht, dass das Supremum rational sein muss, dein Beispiel ist genau das klassische Beispiel dafür. Und in der Tat ist sqrt(3) das Supremum deiner Menge.
1) sqrt(3) ist eine obere Schranke: Für alle rationalen Zahlen mit x^2 < 2 gilt offensichtlich x < sqrt(2).
2) Es gibt keine kleinere obere Schranke: Sei a < sqrt(3) eine beliebige reelle Zahl, wir zeigen jetzt, dass a keine obere Schranke sein kann. Es ist bekannt aus der Definition der reellen Zahlen (egal, wie ihr die reellen Zahlen definiert [und da gibt es viele Wege!], kristallisiert sich dieser Fakt immer relativ schnell raus), dass zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl ist. Sei also q eine rationale Zahl zwischen a und sqrt(3), also a < q < sqrt(3). Die rechte Ungleichung quadrieren ergibt q^2 < 3, also muss q in deiner Menge enthalten sein. Da q > a, ist a keine obere Schranke.
Aus diesen zwei Fakten folgerst du wirklich rigoros und per Hand, dass sqrt(3) das Supremum deiner Menge ist.
LG
Natürlich kann man ein eventuelles Sup/Inf auf halbgeordneten Mengen betrachten. Aber das hier ist 1. eine relativ offensichtliche Erstifrage, also beziehen wir uns auf R und 2. ergibt besonders auf den rationalen Zahlen der Begriff eines Supremums überhaupt keinen Sinn. Historisch gesehen ist genau der Nutzen der reellen Zahlen, dass man immer ein Supremum bekommt, "fast keine" (was auch immer das gerade bedeuten mag lasse ich mal weg) rationalen Mengen besitzen ein rationales Supremum.
In der Fragestellung sehe ich nur "Finde das Supremum dieser Menge". Dass der Fragesteller sich überlegt, ob es ein rationales Supremum gibt, ist eine eigene Überlegung im Fragetext und sicher nicht so in der Aufgabenstellung. Ich sehe sogar genau den Denkfehler des Fragestellers darin, dass er/sie denkt, rationale Mengen müssten ein rationales Supremum besitzen.
Ich würde sagen, die gibt es nicht. Es lässt sich immer eine kleinere rationale Zahl finden, die größer als Wurzel(3) ist.
Also du bist der Meinung, dass es ein solches Supremum gibt, eine kleinste obere Schranke in Q? Ich bin gespannt.
Es existiert keine kleinste obere Schranke in Q. Aber der Begriff des supremums macht in den rationalen Zahlen keinen Sinn. Erinnere dich daran, dass die reellen Zahlen per Definitionem Supremum und Infimum ihrer Dedekindschnitte sind. Es kann nur das reelle Supremum gemeint sein, das man bekommt, indem man diese Menge als Teilmenge der reellen Zahlen auffasst.
An den Dedekindschnitt erinnere ich mich nicht, aber daran, dass man beweisen kann, dass man mittels eines Aufbauschemas rationaler Zahlen beliebig nahe an eine reelle Zahl heran kommen kann, aber nicht genau auf die reelle Zahl.
Zum Supremum habe ich direkt einen Kommentar an deiner Antwort verfasst.
Es ist allein deswegen schon plausibel, dass ein Supremum eine rationale Zahl sein kann, weil die rationalen Zahlen Teilmenge der reellen Zahlen sind. Würde man sie ausschließen wollen, würde man von irrationalen Zahlen sprechen.
Nur in diesem Beispiel gibt es eine solche rationale Zahl nicht.
Das ist nicht korrekt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum#Im_Allgemeinen