Was ist die Menge der Häufungspunkte der Menge?
L = {k-p I k,p Element natürliche Zahlen}
Weisst du, was ein Häufungspunkt ist?
Ja
1 Antwort
Die Menge der Häufungspunkte einer gegebenen Menge ist definiert als die Menge aller Punkte, an denen die gegebene Menge "dicht" ist. In diesem Fall handelt es sich bei der gegebenen Menge L um die Menge aller Zahlen, die sich aus der Differenz von k und p ergeben, wobei k und p Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind.
Da die natürlichen Zahlen unendlich sind, ist auch die Menge L unendlich. Es gibt also keine Punkte, an denen die Menge L "dicht" ist. Demnach ist die Menge der Häufungspunkte von L leer, d.h. sie enthält keine Elemente.
Ein Beispiel für eine Menge mit nicht-leerer Menge der Häufungspunkte wäre zum Beispiel die Menge aller rationalen Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich, enthält aber "dichte" Untermengen, z.B. die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der Bruchzahlen mit ungerader Zähler- und Nennerzahl. Die Menge der Häufungspunkte dieser Menge wäre demnach die Menge aller rationalen Zahlen.
Die Menge der Häufungspunkte einer gegebenen Menge ist definiert als die Menge aller Punkte, an denen die gegebene Menge "dicht" ist. Eine Menge ist dicht, wenn jeder Punkt in der Menge ein Häufungspunkt ist, d.h. wenn es für jeden Punkt in der Menge eine unendlich viele andere Punkte in der Menge gibt, die in unmittelbarer Nähe des gegebenen Punkts liegen.
Die Menge der ganzen Zahlen ist unendlich, enthält aber keine unendlich viele Punkte in unmittelbarer Nähe eines gegebenen Punkts. Stattdessen gibt es immer nur einen endlichen Bereich um einen gegebenen Punkt, in dem sich weitere Punkte der Menge befinden. Demnach ist die Menge der ganzen Zahlen nicht dicht und somit auch nicht die Menge der Häufungspunkte einer gegebenen Menge.
Ein Beispiel für eine Menge mit nicht-leerer Menge der Häufungspunkte wäre zum Beispiel die Menge aller rationalen Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich, enthält aber "dichte" Untermengen, z.B. die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der Bruchzahlen mit ungerader Zähler- und Nennerzahl. Die Menge der Häufungspunkte dieser Menge wäre demnach die Menge aller rationalen Zahlen.
Wieso ist die Menge der Häufungspunkte nicht die ganzen Zahlen?