Cantors zweites Diagonalargument?

hallo,

Cantor hat mit seinem zweiten Diagonalargument bewiesen, dass die Reellen Zahlen zwischen 0-1 überabzählbar sind.

das Basiert ja darauf das man zu jeder Liste von zahlen zwischen 0-1 eine weitere finden kann, die nicht in der Liste ist..

könnte ich nicht dann bei den natürlichen Zahlen ganz naiv sagen hmm, zu jeder Liste an natürlichen Zahlen addiere ich einfach alle zusammen und habe eine weitere natürliche Zahl, die nicht in der Liste ist, somit ist die Menge der natürlichen Zahlen überabzählbar.

(ich weiß das das nicht geht alleine deshalb weil per Definition eine bijektive Funktion zwischen N und der Menge ist und es ist trivial das eine bijektive Funktion N->N existiert.)

aber ich verstehe nicht, das selbe Spiel könnte ich doch mit den ganzen Zahlen auch machen, diese sind ja auch abzählbar, könnte ich bei einer Liste an ganzen Zahlen sagen, ich addiere alle positiven und schon habe ich eine weitere Zahl, die nicht in der Liste ist und dann wären die ganzen Zahlen auch überabzählbar..

kann mir einer vielleicht helfen das zu verstehen ?

danke

Answer 1

[Willibergi]

Wir führen den Beweis per Widerspruch: Angenommen, (0, 1) ist abzählbar. Dann gäbe es eine abzählbare Aufzählung

$r_1, r_2, r_3, \ldots$

sodass

$\{ r_1, r_2, r_3, \ldots \} = (0,1)$

ist. Jede Zahl kann darin in Dezimaldarstellung als

$r_1 = 0{,}\, \textcolor{red}{r_{11}} \, r_{12} \, r_{13} \, r_{14} \cdots \\ r_2 = 0{,}\, r_{21} \, \textcolor{red}{r_{22}} \, r_{23} \, r_{24} \cdots \\ r_3 = 0{,}\, r_{31} \, r_{32} \,\textcolor{red}{r_{33}} \,r_{34} \cdots \\ r_4 = 0{,}\, r_{41} \, r_{42} \, r_{43} \, \textcolor{red}{r_{44}} \cdots \\ \vdots$

geschrieben werden. Wir betrachten jetzt die rot gefärbten Diagonalelemente und konstruieren daraus eine (ggf. irrationale) Zahl innerhalb von (0, 1), die darin nicht vorkommt.

Dann wären wir fertig: Am Anfang haben wir angenommen, wir können (0, 1) in natürlicher Reihenfolge vollständig aufzählen und dann haben wir ein Element in (0, 1) konstruiert, das in dieser Aufzählung nicht enthalten ist. Wir können (0, 1) also doch nicht vollständig aufzählen. Widerspruch!

Konstruieren wir also das "fehlende" Element und zwar wie folgt:

$0 \\ , \\ \text{nicht } r_{11} \\ \text{nicht } r_{22} \\ \text{nicht } r_{33} \\ \text{nicht } r_{44} \\\vdots$

Wir fangen also an: Null komma... dann eine Ziffer, die nicht r_11 ist (möglich, gibt ja noch neun andere Ziffern von 0 bis 9), dann eine Ziffer, die nicht r_22 ist, dann eine, die nicht r_33 ist, und so weiter.

Kannst du selbst sehen, warum wir hier eine "neue" Zahl konstruiert haben, die nicht in der Aufzählung vorhanden ist?

--

Deine Übertragung auf IN funktioniert nicht, weil die Aufzählung unendlich viele Zahlen enthält. Du kannst also nicht einfach die Summe aller Zahlen bilden, denn die wäre Unendlich und damit keine natürliche Zahl.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 2

[Jangler13]

zu jeder Liste an natürlichen Zahlen addiere ich einfach alle zusammen

Wenn die Liste unendlich lang ist, addiert du somit unendlich viele Zahlen, deine Summe ist also unendlich. Also keine Zahl.

ich doch mit den ganzen Zahlen auch machen, diese sind ja auch abzählbar, könnte ich bei einer Liste an ganzen Zahlen sagen, ich addiere alle positiven

Nein, das geht auch nicht. Aus dem selben Grund wie oben.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[instastar]

Könnte ich dann nicht einfach zu dem größten Element der Liste eine 1 addieren dann hätte ich eine weitere ?

[Jangler13]

@instastar

Nein, denn die Liste aller natürlichen Zahlen kann kein größtes Element haben. Die Liste ist nach oben unbeschränkt.

[instastar]

Und bei cantors Liste … wenn die Liste an den Zahlen zu dem er stellenweise eine Zahl ändert, wenn die Liste unendlich viele Elemente hat, dann hat sie ja alle möglichen Zahlen zwischen 0-1 schon drinne 😂😂 irgendwie kommt mit das ganze komisch vor

[Jangler13]

@instastar

wenn die Liste unendlich viele Elemente hat, dann hat sie ja alle möglichen Zahlen zwischen 0-1 schon drinne

Unendlich ≠ enthält alle möglichkeiten.

Es gibt keine Möglichkeit die reellen Zahlen mit einer Nummerierung aufzulisten. Das wird, mit dem Diagonalargument bewiesen, indem eine neue Zahl generiert wird, die reell und zwischen 0 und 1 ist, und trotzdem unterschiedlich zu allen zahlen der Auflistung ist.

[instastar]

@Jangler13

Hmm alles klar danke . Verstanden hab ich’s s jetzt nicht aber was soll’s 💀

[Jangler13]

@instastar

Du gehst halt davon aus, dass so eine Auflistung existiert. Dann erzeugst du eine neue Zahl, die nicht in der Auflistung drin ist. Somit kann diese Auflistung nicht vollständig sein. Und da du das allgemein für jede Auflistung durchführen kannst, kann es keine vollständige Auflistung geben.

[Halbrecht]

@instastar

vielleicht hilft es dir ja : Verstehen ist ein großes Wort ! Ob die Mathematikerinnen , die den Beweis ausführen können , das "Ganze" auch verstanden haben ? Ich weiß es nicht .

Das ist das Brutale an der M : Du befolgst die Regeln , hast eine Idee ( hier die extra Zahl ) und zeigst es . Da muss man nicht mehr verstehen . Wer es kann , sollte sich wundern oder es gar wunderbar finden .