Teilmenge einer überabzählbaren Menge?
Ich versuche zurzeit im Rahmen meiner Klausurvorbereitung folgende Aufgabe zu lösen:
- Sei A eine überabzählbar unendliche Menge und die Menge B ⊂ A abzählbar unendlich. Die Menge A \ B ist immer überabzählbar.
- Jede nicht endliche Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge Teilmenge ist abzählbar unendlich.
Diese Aussagen sollen bewiesen werden. Ich weiß irgendwie nicht wie ich da rangehen soll, vielleicht per Beweis per Widerspruch. Wenn jemand zumindest einen Ansatz hätte würde mir das schon helfen.
1 Antwort
Zu 1.
Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Menge ist immer abzählbar, das weißt du sicherlich schon? Sonst geht das über das Diagonalverfahren.
A ist die Vereinigung von B und A \ B. Wenn B abzählbar ist und A\B auch, dann ist auch A abzählbar.
Zu 2.
Du hast ja nur drei Möglichkeiten: endlich, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich. Endlich ist nach der Frage ausgeschlossen. Kann die Teilmenge überabzählbar unendlich sein?
Warum nicht? Ich nenne meine Mengen
A_1 = (a_11, a_12, a_13.... )
A_2 = ((a_21, a_22, a_23.... )
usw.
und schreibe sie genau so als Schema hin:
a_11, a_12, a_13 ...
a_21, a_22, a_23...
a_31, a_32, a_33...
....
Und dann grase ich das mit dem Diagonalverfahren ab, also
a_11, a_12, a_21, a_13, a_22, a_31, usw. usw.
Wo tritt da ein Problem auf? Letztlich wird die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen genau so begründet, oder irre ich mich?
Es ist doch auch bei der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen genau so. Ich habe die Menge der gekürzten Brüche mit dem Nenner 2, mit dem Nenner 3, mit dem Nenner 4, usw.
Das sind abzählbar viele Mengen, jede davon ist abzählbar. Und mit dem Diagonalverfahren zeige ich, dass die Vereinigung dieser Menge ebenfalls abzählbar ist.
Nein. Du irrst nicht:
Ich hab noch mal nachgedacht und bin auf einen Denkfehler meinerseits gestoßen:
Ich habe Vereinigung mit kartesischem Produkt verwechselt.
Eine Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen enspricht dem kartesischen Produkt von 2 abzählbaren Mengen
Das ist genau die Situation, die du beschreibst und das entspricht exakt der Cantor Diagonalisierung für die rationalen Zahlen.
Damit hast du recht.
Ich verwechselte mit
n-Tupel also kartesische Produkte.
rationale Zahlen entsprechen 2-Tupel. ---> ebenfalls abzählbar.
n-Tupel -- ebenfalls abzählbar. Diagonalisierung einfach n-1 mal hintereinander angewandt.
abzählbar - Tupel - Diagonalisierung nicht mehr anwendbar.
Mein Fehler.
Ich entschuldige mich.
Die Vereinigung endlich vieler abzählbarer Menge ist abzählbar.
Bei einer Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Menge ist das Diagonalverfahren nicht anwendbar.