Warum sei nicht jede Teilmenge der reelen Zahlen überabzählbar?
Hi, mir wurde gerade gesagt, dass es Teilmengen der reelen Zahlen gibt, die nicht überabzählbar sind.
Ich kann mir z. B. (1,1) vorstellen, das wäre ja z. B. die leere Menge.
Aber wenn ich sowas habe (0,1) dann ist das überabzählbar oder? Weil ich kann ja z. B. 0,00000000000000004 oder 0,38300000000000000004 haben usw. also unendlich viele Zahlen
4 Antworten
Jede Teilmenge von R, die ein Offenes inverall enthält ist überabzählbar da du für jedes offene Intervall eine Bijektive Funktion finden kannst, die das Offene Intervall auf R abbildet.
(Das bedeutet aber NICHT, dass wenn es kein offenes Intervall enthält, dass die Teilmenge dann Abzählbar ist. Die Cantormenge ist zum Beispiel überabzählbar und enthält keine offene Menge)
Weil ich kann ja z. B. 0,00000000000000004 oder 0,38300000000000000004 haben usw. also unendlich viele Zahlen
Unendlich viele Elemente bedeutet nicht automatisch, dass es Überanzahlbar ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen (eine Teilmenge von R) ist Abzählbar (und hat unendlich viele Elemente)
Nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen ist ein Intervall. Auch {1,2,3} ist eine Teilmenge von IR, und die ist definitiv nicht überabzählbar.
N ist eine unendliche, abzählbare Teilmenge von R, genauso Q. Es gibt aber keine zusammenhängende abzählbare Teilmenge von R.
Es gibt aber keine zusammenhängende abzählbare Teilmenge von R.
Da ein Intervall eine zusammenhängende Teilmenge ist, nein.
Die natürlichen Zahlen sind insbesondere auch eine Teilmeine der reellen Zahlen und per Definition natürlich nicht überabzählbar.
Wäre [0,1] abzählbar?