Frage von OlafTeddy, 52

Beschränkte Menge ohne Supremum und Infimum?

Sei A eine nicht leere Teilmenge von X.

Warum muss A nicht zwingend Supremum und Infimum besitzen? Kann mir jemand ein Beispiel für eine Menge A ohne sup und inf nennen?

Antwort
von lks72, 33

Ob A ein Supremum besitzt oder nicht, hängt davon ab, ob Körper vollständig ist oder nicht. Im Körper der reellen Zahlen besitzt A in jedem Fall ein Supremum, im Körper der rationalen Zahlen nicht unbedingt.

Kommentar von SlowPhil ,

Du meinst, es ist nicht unbedingt in der Menge enthalten.

Kommentar von lks72 ,

Nein, in der Menge enthalten muss es sowieso nicht sein. Betrachte den Körper der rationalen Zahlen und die Menge aller 1-1/x, x>0, das Supremum ist 1, obwohl 1 nicht Element dieser Menge ist. Die Menge aller x mit x^2 <2 hat aber im Körper Q überhaupt kein Supremum, die Menge Q ist nicht vollständig.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 39

Gesamtmenge X: Menge der reellen Zahlen

Teilmenge A: ein beliebiges beidseitig offenes Intervall

Kommentar von HanzeeDent ,

hmm, dachte ich auch erst, aber siehe video

Kommentar von PWolff ,

A hat weder Supremum noch Infimum (als Elemente von A). So hatte ich die Frage verstanden.

Natürlich gehörten die Grenzen von A zur Menge der Reellen Zahlen, also zur Obermenge X.

("Satz von der oberen Grenze für die reellen Zahlen")

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Es gibt aber auch geordnete Mengen, die kein Supremum und/oder Infimum einer beschränkten Teilmenge enthält:

Berüchtigtes Beispiel:

Grundmenge X = Menge der rationalen Zahlen ℚ

Teilmenge A = {x ∈ ℚ | x^2 < 2}

(oder auch - ergibt dieselbe Menge - A = {x ∈ ℚ | x^2 ≤ 2} )

Antwort
von PhotonX, 37

Ist denn X überhaupt eine geordnete Menge?

Antwort
von ausdertonne, 21

Definiere "besitzen".

Sollen sup und inf Elemente der Menge sein?

Kommentar von OlafTeddy ,

nicht zwingend

Kommentar von ausdertonne ,

Dann kannst du das offene Intervall (a,b) mit a<b als Beispiel nehmen

Antwort
von HanzeeDent, 27

Schau mal ab 8:45 etwa

Kommentar von HanzeeDent ,

Also hat, denke ich, jede beschränkte Menge sup und inf

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