Beschränkte Menge ohne Supremum und Infimum?
Sei A eine nicht leere Teilmenge von X.
Warum muss A nicht zwingend Supremum und Infimum besitzen? Kann mir jemand ein Beispiel für eine Menge A ohne sup und inf nennen?
5 Antworten
Ob A ein Supremum besitzt oder nicht, hängt davon ab, ob Körper vollständig ist oder nicht. Im Körper der reellen Zahlen besitzt A in jedem Fall ein Supremum, im Körper der rationalen Zahlen nicht unbedingt.
Nein, in der Menge enthalten muss es sowieso nicht sein. Betrachte den Körper der rationalen Zahlen und die Menge aller 1-1/x, x>0, das Supremum ist 1, obwohl 1 nicht Element dieser Menge ist. Die Menge aller x mit x^2 <2 hat aber im Körper Q überhaupt kein Supremum, die Menge Q ist nicht vollständig.
Gesamtmenge X: Menge der reellen Zahlen
Teilmenge A: ein beliebiges beidseitig offenes Intervall
A hat weder Supremum noch Infimum (als Elemente von A). So hatte ich die Frage verstanden.
Natürlich gehörten die Grenzen von A zur Menge der Reellen Zahlen, also zur Obermenge X.
("Satz von der oberen Grenze für die reellen Zahlen")
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Es gibt aber auch geordnete Mengen, die kein Supremum und/oder Infimum einer beschränkten Teilmenge enthält:
Berüchtigtes Beispiel:
Grundmenge X = Menge der rationalen Zahlen ℚ
Teilmenge A = {x ∈ ℚ | x^2 < 2}
(oder auch - ergibt dieselbe Menge - A = {x ∈ ℚ | x^2 ≤ 2} )
Ein beidseitig offenes Intervall (a,b) auf den reellen Zahlen besitzt das Infimum a und das Supremum b.
Definiere "besitzen".
Sollen sup und inf Elemente der Menge sein?
Dann kannst du das offene Intervall (a,b) mit a<b als Beispiel nehmen
Was meinst du mit X? Jede beschränkte Teilmenge des |R ^ n besitzt ein Supremum und ein Infimum.
Ist denn X überhaupt eine geordnete Menge?
hmm, dachte ich auch erst, aber siehe video