Wie bestimme ich Supremum und Infimum dieser Aufgabe?
{xyz| x>0; y>0; z>0; x+y+z=1}
”Bestimmen Sie Supremum und Infimum, und falls sie existieren, Maximum und Minimum folgender Teilmenge von R(reelle Zahlen)”
Um Supremum und Infimum bestimmen zu können braucht die Teilmenge doch ein festgelegtes Maximum und Minimum, soweit ich verstanden habe, oder bin ich auf dem Holzweg?
Wenn man für xyz alles, was großer als Null ist einsetzen kann, ist der Funktionsverlauf dann nicht unendlich in positiver Richtung, mit unendlichem Maximum?
Das kleinste Infimum wäre, meiner Überlegung nach, -1,99999….
Muss irgendwie einen Ansatz finden, kann mir irgendwer helfen? :/
1 Antwort
Ja, Holzweg, schau dir die Definitionen dieser Begriffe nochmal genau an.
Alle Zahlen sind positiv, die Summe gibt 1. Es interessiert das Produkt xyz.
Für das Infimum schauen wir die Zahlen x>0, y= x und z = 1-2x für "kleine" x an. (Bemerke, es ist dann x+y+z=1.) Dann ist xyz = x²(1-2x). Wenn x gegen Null geht, geht auch dieses Produkt gegen Null, es wird aber nie erreicht, da x>0. Das Infimum der Menge ist also 0, sie hat aber kein Minimum.
Das Maximum wird allerdings erreicht, man erhält es, wenn x=y=z=1/3, damit hat man gleichzeitig auch das Supremum. Das wäre noch zu beweisen, ich weiss allerdings nicht, welche Mittel und Kenntnisse dir dazu zur Verfügung stehen (Schule? Uni? Semester?)
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Ich habe es jetzt soweit verstanden, doch weiß nicht genau wie ich den Beweis mathematisch ausdrücken kann und ob ich auch einen Graphen zeichnen sollte. Bin im ersten Semester, Mathematik I.
Man könnte mit Symmetrie argumentieren, aber besser wäre, den Lagrange Formalismus für Maxima unter Nebenbedingungen durchzuziehen, ich weiss nicht, ob du das schon kennst, Lagrangefunktion L = xyz - lambda(x+y+z-1), alle partiellen Ableitungen Null setzen usw. ….