Supremum/Infimum bestimmen?
Grüßt euch ihr Lieben,
ich würde gerne wissen, wie man am besten das Supremum und Infimum von dieser Funktion herausfinden kann.
f(x) = sin(x) + cos(x)
D(f) = [0,2pi]
In meiner Musterlösung wurde das sehr umständlich gemacht, die Grundlagen zu diesem Themengebiet sind mir bekannt.
1 Antwort
Zunächst musst du deine Funktion ableiten um Kandidaten für Extrema zu finden:
f'(x) = cos(x)-sin(x)
Diese Kannst du jetzt gleich null setzen:
0 = cos(x) - sin(x) <=> cos(x) = sin(x)
Kandidaten für Hochpunkte sind also genau die Punkte in [0, 2pi] an denen der Sinus und Cosinus sich schneiden. Also 1/4pi und 5/4pi zudem müssen auch immer die Randstellen eines Intervalls geprüft werden.
du musst also diese vier Werte in f einsetzen und schauen welche am Größten sind, dann hast du Extremum.
Viele Grüße
Hannes
Es gibt auch Mengen wo das nicht möglich ist.
Da aber [0,2pi] kompakt ist und die Funktion stetig differenzierbar ist weißt man schon, dass Minimum und Maximum angenommen wird und man kann es als Extremwertaufgabe betrachten
müsste man die Stetigkeit und Differenzierbarkeit nicht erst einmal zeigen , oder ,oder , zumindest sagen , , , , weil Ste und Dif vorliegen , können wir so fortfahren.
Und warum schlägt wikibooks diese anderen Methoden vor ?
Also dass sinus und cosinus stetig und diffbar sind, iwird meist schon als bekannt vorausgesetzt.
Im Studium ist es so dass Infimum/Supremum schon eingeführt werden, bevor Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit eingeführt werden.
Und davor muss man halt mit den Definitionen von sup und Inf arbeiten und den aufwendigen weg gehen.
Sobald aber halt die Stetigkeit drankommt lernt man den Zwischenwertsatz kennen und das daraus resultierende lemma, dass stetige Funktionen auf Intervallen ein Minimum und Maximum annehmen.
Wenn man aber stattdessen sagen würde, man betrachte als Definitionsmenge die ganzen Zahlen, hat man bei der Aufgabe schon mehr zu tun.
und die Funktion stetig differenzierbar
Stetig differenzierbar heißt aber nicht stetig und differenzierbar. Dass die Funktion stetig differenzierbar ist, spielt keine Rolle. Vielleicht ein Verschreiber.
bin ich ja mal gespannt , ob noch andere Antworten kommen . Folgt man dem https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum_bestimmen_und_beweisen..........hier , ist es mit Ableiten etc nicht getan.