Wie kann man das lokale/globale Maximum/Minimum möglichst leicht berechnen?
Hallo, angenommen man hat die Funktion f(x)=x^3+3x^2-9x+1
die auf dem Intervall [-2;6] liegt und soll nun das globale Minimum/Maximum herausfinden. Wenn man nun keinen GTR zur Hand hat, wie kann man dann möglichst leicht das globale Minimum/Maximum bestimmen??
4 Antworten
Wie detailliert brauchst du es denn? Grob gesagt:
- f'(x)=0 als Bedingung für Stellen x mit waagrechter Tangente.
- f''(x) an diesen Stellen auswerten und prüfen, ob hier für die Krümmung nicht auch Null herauskommt. Ist das nicht der Fall, haben wir ein lokales Extremum.
- f(x) an den in 1. berechneten und in 2. überprüften Extremstellen berechnen, um die lokalen Extremwerte zu bestimmen.
- f(x) an den Rändern des Definitionsbereichs berechnen für weitere Extremwert-Kandidaten.
- Alle Extremwerte vergleichen, der allergrößte wird das globale Maximum sein, der allerkleinste das globale Minimum.
Wenn noch Fragen sind, einfach fragen!
Der Hochpunkt interessiert nicht, da er außerhalb des Intervalls liegt.
Ein lokales Minimum liegt bei T(1/-4)
Nun überrüfen wir die Intervallgrenzen:
f(-2) = (-2)^3+3(-2)^2-9*(-2)+1= 23
f(6) = 271
Damit ist das lokale Minimum auch das globale Minimum und das globale Maximum liegt bei x = 6
Du musst immer zuerst die erste Ableitung bilden. Also f(x) =3x^2+6x-9. Diese setzt du gleich Null und löst nach x auf.
f(x) =0. X kannst du mit der pq Formel zb berechnen.
Zuletzt musst du prüfen ob es Minimum oder Maximum ist. Letztes Schuljahr haben wir das anders geprüft als jetzt. Aber am einfachsten ist der Weg, dass du die erste Ableitung nochmal ableitet (2. Ableitung). In diese setzt du dann für X den, durch die pq Formel herausgefundenen, Wert ein. Ist das Ergebnis negativ= Maximum, ist es positiv=Minimum.
Man bildet die erste Ableitung und setzt diese Null, das gibt die Extremstellen. Diese setzt man in die 2. Ableitung ein, um zwischen Minimum und Maximum zu unterscheiden. Dann wertet man noch die Funktion an den Intervall-Enden aus, um auf globale Extrema zu prüfen.
Wenn z.B. der y-Wert am Intervallbeginn größer ist als die y-Werte aller gefundenen lokalen Maxima, dann wäre am Intervallbeginn ein globales Maximum.
Ah ja das geht auch. Du setzt das Ergebnis in die erste Ableitung ein. Jeweils vor und nach den einzelnen Werten im intervall. Ist der Wert positiv heißt es ja der Graph steigt. Ist der Wert negativ, so ist ja auch die Steigung negativ, das heißt, der Graph fällt. Steigt also die Funktion vor - 2 z.B und fällt danach, so ist es ein Maximum. Kann man sich ja auch vorstellen. Wenn es erst fällt, dann sinkt. Andersherum logischerweise dann ein Minimum.
Muss man die Werte am Intervallende dann irgendwo einsetzen ? Und was sagt mir das Ergebnis dann ??