Globales Maximum bestimmen?
Also ich habe die Gleichung h(x)=x^3+20x^2 . Ich weiß wie man die Extremwerte bestimmt also HP und TP d.h. Lokales maximum und Minimum aber das globale maximum zu bestimmen weiß ich nicht . Halt die höchste stelle vom Funktionsgraph
2 Antworten
Um das globale Maximum/Minimum zu ermitteln, rechnest Du erst die lokalen Extremwerte aus und ermittelst dann die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs (und evtl. an Definitionslücken bei z. B. gebrochen-rationalen Funktionen (also da, wo der Nenner Null werden würde)).
Gibt es keine definierten Ränder, ermittelst Du den Grenzwert für x gegen plus- und minus-unendlich.
In Deinem Beispiel geht die Funktion links gegen minus-Unendlich und rechts gegen plus-Unendlich, d.h. es gibt keinen globalen Extremwert.
Ginge es z. B. links und rechts nur nach oben oder nur nach unten hättest Du zumindest ein globales Minimum bzw. Maximum.
Ein globales Maximum muss insbesondere ein lokales Maximum sein, d.h. die Extrema sind die einzigen Punkte, die überhaupt infrage kommen.
Wenn du dir jetzt aber das Randverhalten deiner Funktion anschaust, kannst du leicht herausfinden, dass so etwas wie "die höchste Stelle" für den Graphen dieser Funktion nicht existieren kann...
Ein lokales Maximum ist ein Punkt, in dessen unmittelbarer Umgebung kein größerer Wert angenommen wird.
Ein globales Maximum ist ein Punkt, dessen Höhe niemals übertroffen wird. Insbesondere wird seine Höhe auch in der unmittelbaren Umgebung nicht übertroffen.
Was ich oben meinte ist:
Jedes globale Maximum ist auch ein lokales Maximum.
D.h. wenn deine Funktion überhaupt ein globales Maximum hat, dann muss es das lokale Maximum sein, das du vorher ausgerechnet hast.
In diesem Fall ist das lokale Maximum aber kein globales Maximum: Etwa für x = 10 wird ein Wert angenommen, der größer ist als das lokale Maximum, d.h. es kann nicht global sein.
Allgemein ist es gut, sich das Randverhalten anzuschauen: Die Funktion strebt auf der rechten Seite gegen +unendlich, d.h. die Funktionswerte werden beliebig groß. Schon alleine deshalb kann es kein globales Maximum geben.
Was meinst du mit "das sind die einzigen Werte, die überhaupt in frage kommen?" . Ich meine die Frage ist ja wie ich vorgehen soll, wie soll ich weiter rechnen wenn ich die lokalen extremwerte herausbekommen habe ? In der Ableitung für x einsetzen oder wie ?