lokale und globale extrema bestimmen?...
Hallo ! Ich hab ein problem, ich schreibe bald eine mathearbeit und weiß leider immer nich nicht, wie ich lokale und globale xtrema bestimmen kann auch ohne gtr und mit gtr. Und wozu braucht man randwerte? Liebe grüße und Danke schonmal ;))
2 Antworten
Also Extrema bestimmst du einfach mit Hilfe der notwendigen und der hinreichenden Bedingung:
f '(x) = 0 (notwendige Bedingung)
-> x-Werte ausrechnen
Die ausgerechneten x-Werte setzt man dann in f''(x) und rechnet aus (hinreichende Bedingung)
-> Ist dieser Wert größer als 0 --> Tiefpunkt
-> Ist dieser Wert kleiner als 0 --> Hochpunkt
Jetzt setzt man die x-Werte in f(x) ein, um die y-Werte der Extrempunkte zu erhalten.
Globales Minimum und globales Maximum sind einfach die höchsten/niedrigsten y-Werte deiner Funktion. Diese liegen an den Extrempunkten. Lokale Extrema beziehen sich auf einen bestimmten Wertebereich (also ein Intervall) und eben nicht auf die ganze Funktion. Hier muss man nun die Intervallgrenzen in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, um zu gucken, ob die ausgerechneten y-Werte größer/niedriger als die Werte, der Extrempunkte innerhalb des Intervalls sind. Das sind außerdem die Randwerte.
Hm, ja schon, du könntest einen ein bisschen kleineren x-Wert und einen ein bisschen größeren x-Wert nehmen (wenn du z.B. mit der 1. Ableitung auf einen Wert von 5 kamst, nimmst du 4,9 und 5,1) und setzt diese beiden Werte in die 1. Ableitung ein.
Dann solltest du einen Vorzeichenwechsel bekommen.
Kommt bei 4,9 ein Minus-Wert und bei 5,1 ein Plus-Wert raus -> Tiefpunkt, da die Steigung von Negativ nach Positiv verläuft (bei 5 wäre sie dann eben 0)
Kommt bei 4,9 ein Plus-Wert und bei 5,1 ein Minus-Wert raus -> Hochpunkt, da die Steigung von Positiv nach Negativ verläuft (bei 5 wäre sie dann eben 0)
A.Kleine Korrektur zu ToSchu (sonst finde ich die Erklärung fabelhaft unverkrampft):
Lokale Extrema beziehen sich nicht auf einen bestimmten Wertebereich, sondern auf ein Intervall von x-Werten. So war das sicher auch gemeint, aber unter "Wertebereich" wird normalerweise die Bildmenge ( = Menge aller angenommenen y-Werte) einer Funktion verstanden, so dass der Begriff hier nicht passt.
B. Zur Erklärung der Unterscheidung von Hochpunkt und Tiefpunkt ohne Ableitung:
("]a,b[" ist bei mir ein offenes Intervall, d.h.die Menge alle x mit a<x<b.)
Wie weit darf der "ein bisschen" größere bzw. kleinere x-Wert (ich nenne die mal "x++" und "x-"- von der Nullstelle x0 der Ableitung entfernt sein? Beliebig weit, SOLANGE gesichert ist, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle x+ im Intervall ]x0, x++[ (bzw. keine weitere Nullstelle x- im Intervall ]x--,x0[) hat.
Begründung für x++ (entsprechend für x--) : Wenn doch noch eine Nullstelle x+ im Intervall ]x0, x++[ existiert, kann f' bei x+ ebenfalls das Vorzeichen wechseln. Andererseits muss das aber auch nicht sein, denn f' kann sich bei x+ der x-Achse auch nur "angeschmiegt" haben ( = Berührpunkt).
Umgekehrt muss aber eine Nullstelle x+ im Intervall ]x0, x++[ existieren, wenn f' dort das Vorzeichen wechselt (das folgt aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, wenn ihr den schon hattet).
Zusammenfassung: Die Abwesenheit einer Nullstelle x+ in ]x0, x++[ ist ein hinreichende Bedingung dafür, dass das Vorzeichen von f'(x++) auch das gesuchte Vorzeichen von f' rechts der Nullstelle x0 ist. Die Anwesenheit einer solchen Nullstelle bedeutet bloß, dass du nichts sagen kannst.
Praktische Anwendung: Nehmen wir an, f' hat genau zwei Nullstellen x1 und x2 (Das kommt in Klassenarbeiten etc. vor.) Dann kannst du irgendein "bequemes" x = xa (ohne Komma) aus dem Intervall ]x1, x2[ nehmen, und f'(xa) hat das Vorzeichen von f' rechts von x1 und links von x2. Um das Vorzeichen von f' links von x1 oder aber rechts von x2 zu erfassen, kannst du auch irgendwelche x "ganz weit draußen" nehmen (also viel kleiner als x1 bzw.. viel größer als x2), wenn aus irgendeinem Grund bequemer ist, denn f' kann dir mangels weiterer Nullstelle keinen Vorzeichenwechsel-Streich spielen.
C. Was passiert, wenn die Ableitung so etwas ist wie f'(x) = x², und also das Vorzeichen an der Nullstelle (hier x = 0 ) nicht wechselt? Dann hat die Ausgangsfunktion (in diesem Fall f(x = x³ / 3 +c, c bel. Konstante) bei x = 0 eine waagrechte Tangente, aber kein Extremum (sondern einen sogenannten Terrassen- oder Sattelpunkt).
Die Regeln aus B. zur Beurteilung des Vorzeichenwechsels der Ableitung gelten genauso wie bei Hoch- und Tiefpunkten auch. Z. B. hat f'(x) = x² nur die Nullstelle x = 0. Also kannst du für f'(x) = x² ein beliebiges xn < 0 (praktischerweise xn = -1) und ein beliebiges xp > 0 (praktischerweise xp = +1) nehmen um zu zeigen, dass f'(x) bei x = 0 das Vorzeichen nicht wechselt, denn die Intervalle ]xn, 0[ und ]0,xp[ enthalten keine Nullstelle von f'.
psychironiker
Danke für die antwort!;) aber gibt es auch eine Möglichkeit das ohne die zweite abkeitung auszurechnen? Hatte das nämlich noch nicht...