wieso braucht man die zweite Ableitung um minimum und maximum zu bestimmen?
Wieso muss f''(x) kleiner 0 sein für ein maximum und wieso größer 0 für minimum ?
6 Antworten
Bei einem Maximum steigt der Graph erst und fällt dann.
-> Der Graph von f'(x) geht von plus nach minus => Die Steigung ist negativ -> f"(x) ist negativ
Bei einem Minimum ist das genau andersrum: Erst fällt und dann steigt der Graph.
-> Der Graph f'(x) geht von minus nach plus => Die Steigung ist positiv -> f"(x) ist positiv.
Hoffe das erklärt es dir? Ansonsten mal dir noch zwei Bilder dazu mit f(x), f'(x) und f"(x).
LG :)
Übrigens: Es MUSS NICHT f “(x) ˃ 0 sein an der Stelle eines Minimums; f “(x) ˃ 0 zusammen mit f ‘(x) = 0 ist zwar eine HINREICHENDE, aber keine NOTWENDIGE Bedingung für ein Minimum. Beispiel: y = x^4 hat ein Minimum bei x = 0, aber f “(0) = 0. Dagegen: WENN f “(x) ˃ 0 und f ‘(x) = 0, DANN ist dort ein Minimum. Den Rest hat Sucher gut erklärt.
Tja. Einzige Antwort jenseits der stupiden Formelfurzerei in der Schule. Ich bin mir nur nicht sicher, ob der Fragesteller damit was anfangen kann. :-)
Nur noch zur Ergänzung:
Sei f'(x)=0 UND fn(x) <> 0, wobei n die erste Zahl <> 1 ist, deren Ableitung bei x nicht 0 ist.
Dann ist x eine Extremstelle genau dann, wenn n eine gerade Zahl ist.
Beispiel von stekum von oben:
f(x) = x^4 => f'(x)=4x^3, f''(x)=12x^2, f'''(x)=24x, f''''(x)=24.
also ist f4(0) = 24 > 0 die erste Ableitung , die nicht 0 ist.
Weil 4 gerade ist, ist es ein Extrempunkt, wegen 24 > 0 ein Minimum.
Kommentar zu Deiner Ergänzung mit y ‘ = 0 und der n-ten Ableitung y⁽ⁿ⁾ ≠ 0 : Das gilt für ganzrationale Funktionen n-ten Grades.
Übrigens: Notwendige UND hinreichende Bedingung für ein Extremum bei x = a ist, dass f ‘(a) = 0, bzw. f ‘(x) in der Umgebung von a existiert UND bei a ihr Vorzeichen wechselt.
Saubere Erklärung!