wieso braucht man die zweite Ableitung um minimum und maximum zu bestimmen?
Wieso muss f''(x) kleiner 0 sein für ein maximum und wieso größer 0 für minimum ?
6 Antworten
Bei einem Maximum steigt der Graph erst und fällt dann.
-> Der Graph von f'(x) geht von plus nach minus => Die Steigung ist negativ -> f"(x) ist negativ
Bei einem Minimum ist das genau andersrum: Erst fällt und dann steigt der Graph.
-> Der Graph f'(x) geht von minus nach plus => Die Steigung ist positiv -> f"(x) ist positiv.
Hoffe das erklärt es dir? Ansonsten mal dir noch zwei Bilder dazu mit f(x), f'(x) und f"(x).
LG :)
Übrigens: Es MUSS NICHT f “(x) ˃ 0 sein an der Stelle eines Minimums; f “(x) ˃ 0 zusammen mit f ‘(x) = 0 ist zwar eine HINREICHENDE, aber keine NOTWENDIGE Bedingung für ein Minimum. Beispiel: y = x^4 hat ein Minimum bei x = 0, aber f “(0) = 0. Dagegen: WENN f “(x) ˃ 0 und f ‘(x) = 0, DANN ist dort ein Minimum. Den Rest hat Sucher gut erklärt.
Tja. Einzige Antwort jenseits der stupiden Formelfurzerei in der Schule. Ich bin mir nur nicht sicher, ob der Fragesteller damit was anfangen kann. :-)
Nur noch zur Ergänzung:
Sei f'(x)=0 UND fn(x) <> 0, wobei n die erste Zahl <> 1 ist, deren Ableitung bei x nicht 0 ist.
Dann ist x eine Extremstelle genau dann, wenn n eine gerade Zahl ist.
Beispiel von stekum von oben:
f(x) = x^4 => f'(x)=4x^3, f''(x)=12x^2, f'''(x)=24x, f''''(x)=24.
also ist f4(0) = 24 > 0 die erste Ableitung , die nicht 0 ist.
Weil 4 gerade ist, ist es ein Extrempunkt, wegen 24 > 0 ein Minimum.
Kommentar zu Deiner Ergänzung mit y ‘ = 0 und der n-ten Ableitung y⁽ⁿ⁾ ≠ 0 : Das gilt für ganzrationale Funktionen n-ten Grades.
Übrigens: Notwendige UND hinreichende Bedingung für ein Extremum bei x = a ist, dass f ‘(a) = 0, bzw. f ‘(x) in der Umgebung von a existiert UND bei a ihr Vorzeichen wechselt.
Man kann es ganz kurz sagen.
Mit f ' (x) bestimmt man die x-Werte der Extrema.
Dann die x-Werte in f '' (x) einsetzen.
Ergebnis > 0: Minimum (Eselsbrücke: positiv = Minimum = Tiefpunkt)
Ergebnis < 0: Maximum (Eselsbrücke: negativ = Maximum = Hochpunkt)
Ergebnsi = 0: könnte ein Sattelpunkt sein, mit f ''' (x) prüfen, muss ≠ 0 sein.
ganz einfach... mit der Nullstelle der 1. Ableitung bestimmst du ja nur,dass f(x) an dieser stelle nicht steigt. Es muss also ein Sattelpunkt, TP oder HP sein...
Durch die 2. Ableitung bestimmst du, ob die 1. Ableitung in der Nullstelle fällt oder steigt. Damit bestimmst du auch, ob nach dem Punkt in f(x) der Graph sinkt oder fällt. Deshalb kannst du auf einen Hochpunkt/Tiefpunkt shcließen...
Das lässt sich relativ schnell erklären, wenn du reale Sachzusammenhänge verwendest, um die Funktion, die Ableitung und die zweite Ableitung zu bestimmen.
Nehmen wir einmal an, die Funktion f(t) ist eine Weg-Zeit Funktion, die zu jedem Zeitpunkt einem die Entfernung zum Ursprung (Also 0 auf der y-Achse) anzeigt. Dann ist die erste Ableitung die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt und die zweite Ableitung die Beschleunigung (also die Steigung der Geschwindigkeit).
Eine Extremstelle hast du, wenn die Ableitung gleich 0 ist, also: Wenn du mit einem Auto eine Linie entlang fährst, hast du bei einer Extremstelle angehalten. Dass du angehalten hast, sagt dir, dass die Ableitung, also die Geschwindigkeit 0 ist. Ob du weiter vorwärts oder rückwärts fährst, nachdem dein Auto wieder Geschwindigkeit aufnimmt, bestimmt die zweite Ableitung, also die Steigung der Geschwindigkeit. Wenn deine Beschleunigung positiv ist, fährst du nach dem Stillstand vorwärts, wenn die Beschleunigung negativ ist, fährst du rückwärts.
Saubere Erklärung!