Hoch- und Tiefpunkt, Ableitung?
Hallo,
wenn man Hoch- oder Tiefpunkte berechnet, kriegt man diese ja nur heraus, da das Ergebnis der zweiten Ableitung wenn man jene x-Punkte einsetzt entweder niedriger oder höher als Null sind.
Nun muss es ja sein, dass dies ein Zeichen ja ist und deswegen sich die Hoch- und Tiefpunkte ja unterscheiden müssen.
Meine Frage ist, worin diese sich unterscheiden bzw. wie eben solche Ergebnisse zustande kommen weswegen man darauf schließen kann?
3 Antworten
Durch Nullsetzen der ersten Ableitung bestimmst du alle Punkte mit waagrechter Tangente. Dazu zählen auch (aber nicht nur) Hoch- und Tiefpunkte.
D.h. f'(x)=0 ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt. Daher musst du ggf. zusätzlich auch noch 2. und 3. Ableitung bestimmen, um die Krümmung und eventuell deren Änderung zu ermitteln.
Weil die Funktion bei einem Hochpunkt eine negative Krümmung und bei einem Tiefpunkt eine positive Krümmung aufweist. D.h. nach einem Hochpunkt "geht der Graph hinunter", und nach einem Tiefpunkt "geht er hinauf".
Vielen Dank, das ist der erste Kommentar der es auf den Punkt gebracht hat. Also ist hauptsächlich eben die Krümmung eines Hoch- oder Tiefpunkts danach das Entscheidende?
Kann man aber wirklich sagen, dass ein Hoch- oder Tiefpunkt eine gewisse Krümmung aufweist, obwohl diese sich vor und nach jenem Punkt unterscheidet?
Also ist hauptsächlich eben die Krümmung eines Hoch- oder Tiefpunkts danach das Entscheidende?
Ja. Schließlich liefert die 2. Ableitung ja die Krümmung, also passt das recht gut zusammen ;-)
Kann man aber wirklich sagen, dass ein Hoch- oder Tiefpunkt eine gewisse Krümmung aufweist, obwohl diese sich vor und nach jenem Punkt unterscheidet?
Nein, die Krümmung (also die Änderungsrate der Steigung) ändert sich in der Umgebung des Extrempunktes nicht wesentlich. Bei einem Hochpunkt ist die Krümmung davor und danach durchgehend negativ.
Beachte, dass du nicht Steigung und Krümmung verwechselst!
Aber wie ist es denn möglich die Steigung der Steigung eines Hoch- oder Tiefpunkts zu berechnen welche ja 0 beträgt?
- Steigung = 1. Ableitung (also Änderungsrate des Funktionswertes)
- Krümmung = 2. Ableitung (also Änderungsrate der Steigung)
Bitte die beiden nicht verwechseln. Für Hoch-/Tiefpunkt-Bestimmung musst du dich mit beiden Ableitungen beschäftigen.
Achso, das würde Sinn machen, also berechnet man mit der Einsetzung der Nullstellen in die zweite Ableitung die Krümmung an dem (Hoch- oder Tief-) Punkt?
Ohhh, danke! Das macht endlich Sinn! Danke dir vielmals.
Eine Frage aber noch: also ist beim berechnen eine Sattelpunktes die Steigung und die Krümmung Null, aber was ist mit der dritten Ableitung? Die darf ja nicht Null sein, warum? Was sagt denn die dritte Ableitung aus?
Zur 3. Ableitung bei Wende-/Sattelpunkten: https://www.youtube.com/watch?v=ftHcJuOqZxM
Nullstellen der Ableitungen: sin durchaus wichtig, die benötigen wir ja zur Bestimmung von Extrem- und Wensepunkten.
Eine ableitung berechnen immer die steigung von etwas.
Die erste ableitung ist quasi die steigung des graphen. Kannste ganz einfach bei linearen funktionen sehen. Denn mx + n abgeleitet ist slichtweg m. Und m ist die steigung der linearen funktion.
Hoch/Tiefpunkte sind dann die stellen wo die steigung 0 ist.
Die zweite ableitung ist imgrund edie steigung der steigung.
z.b. in einer Quadratischen funktion ändert sich die steigung ja die ganze zeit. Von links betrachtet fällt der graph erst sehr schnell. Dann immer langsamer und dann kurz gar nicht. und dann steigt er immer schneller.
Die steigung ändert sich also linerar von einem negativen wert zu einem positiven wert.
dh. die steigung einer quadratischen funktion nimmt stetig zu.
Eine positive 2. ableitung bedeutet nun das die steigung der steigung schlichtweg positiv ist. Und falls die Steigung gerade 0 ist. Wird sie danach größer. Wir haben also einen tiefpunkt.
Falls die steigung gerade 0 ist. Aber danach abnimmt. Die steigung der steigung also negativ ist. Haben wir einen hochpunkt.
Eine ableitung sagt also immer was darüber aus wie sich der wert der vorhergehenden funktion mit steigendem x ändert.
Beispiel lineare funktion: 2x
mit steigendem x ändert sich die funktion um 2 je schritt. Weil die erste ableitung 2 ist.
Bei einer quadratischen funktion x² haben wir die erste ableitung mit 2x. Sprich. Mit steigendem x ändert dich die funktion nicht mti 2 sondern mit 2x. (Die steigung nimmt quasi konstant zu)
Danke, das ist sehr, sehr gut formuliert und ist sehr hilfreich. Eine Frage die ich mir stelle ist nur, wie man die Steigung von einer Steigung berechnen kann welche ja 0 beträgt (die Steigung eines Hoch- und Tiefpunkts ist ja z.B. 0).
Was genau willst du jetzt wissen? Dein Text ist echt schlecht formuliert
Hochpunkt = f'' < 0, Tiefpunkt = f'' > 0
Guten Abend,
leite doch mal zum Beispiel eine Funktion zweiten Grades zwei mal ab und schaue dir die Graphen an. Dann kann man gut nachvollziehen, warum das so ist.
Liebe Grüße
Ich soll eine Funktion zweiten Grades nochmal zweimal ableiten?
Nein, nicht "nochmal". Eine Funktion zweiten Grades ist bspw. f(x)=ax^2 + bx + c; also mit dem höchsten Exponenten n=2. Oder anders gesagt eine quadratische Funktion. ;) Die kannst du dann zwei mal ableiten und dir die Graphen anschauen.
Ja, danke. Das wusste ich aber.
Ich frage nach dem Grund warum f'' < 0 ein Hochpunkt und warum f'' > 0 ein Tiefpunkt ist.