Wie findet man einen Hoch- und Tiefpunkt?
Wir haben die Nullstellen der Ableitung f‘(x) gefunden, diese sind:
x1–> -3
x2–> 2
Jetzt müssen wir herausfinden, ob die Funktion f(x) an diesen punkten einen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
Wie geht man jetzt vor?
die Ableitung lautet : f‘(x) =x^2+x-6
3 Antworten
Hallo,
dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
du kannst deine möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen. Ist der Wert der dabei rauskommt positiv, ist es ein Tiefpunkt, ist er negativ, ist es ein Hochpunkt. Ist die zweite Ableitung dagegen gleich Null, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Die andere Möglichkeit wäre es, zu prüfen, ob die erste Ableitung an den möglichen Extremstellen einen Vorzeichenwechsel hat. Liegt kein Vorzeichenwechsel vor, handelt es sich nicht um eine Extremstelle, sondern um einen Sattelpunkt. Hat die erste Ableitung aber einen Vorzeichenwechsel von + zu -, dann handelt es sich um einen Hochpunkt, bei einem Vorzeichenwechsel von - zu + handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Ich hoffe, du kannst das so verstehen. Falls noch etwas unklar sein sollte, kannst du natürlich gerne nachfragen :)
Du kannst ruhig du sagen :)
Möglicherweise hast du falsche Werte genommen, es ist ganz wichtig, dass du da die richtigen Werte wählst. Wenn du schauen möchtest, ob bei -3 eine Extremstelle ist, musst du hier bei deinem Beispiel einen Wert nehmen, der kleiner als -3 ist (z.B. -4) und einen, der zwischen -3 und 2 ist (z.B. 0). Wenn du das in die erste Ableitung einsetzt, kommt das raus: f´(-4)=6 und f(0)=-6. Also hast du einen Vorzeichenwechsel von + nach - und dementsprechend einen Hochpunkt.
Verstehst du das so?
zweite Ableitung berechnen,
dort die x-Werte einsetzen
wenn zweite Ableitung bei dem x-Wert kleiner null, dann hat man bei x einen Hochpunkt
f''(x)=2x+1
f''(-3)=2*-3+1=-5<0 also HP bei x=-3
y-Wert des HP durch einsetzen von x in Ausgangsgleichung f(x)
Danke , wir haben in der Schule allerdings die zweite ableitung noch nicht gemacht .
gibt es noch einen anderen weg ?
Meine idee : einen wert kleiner als der x wert und einen wert grüsser als der x wert in die funktion einsetzen . Wenn zuerst ein wert kleiner als null rauskommt und dann einer heösser dann ist es ein tiefpunkt unf andersrum .
das hab ich allerdings ausprobiert aber da kam mir ein faksches ergebnis heraus
die zweite Ableitung ist einfach die Ableitung von f'
es gibt noch die Möglichkeit, den Vorzeichenwechsel bei der ersten Ableitung an der Stelle x nachzuweisen. beim HP wäre der von + nach -
Danke sehr ! Genauso versuche ich vorzugehen . Aber das macht keinen sinn
wenn man einen wert kleiner als -3 einsetzt kommt ein minus wert raus . Wenn amn einen wert grösser als -3,zb 1 einsetzt kommt plus raus .
wenn man das gleiche mit der zwei macht kommt zb bei 1 als der kleinere wert plus raus aber auch als 5 als der grössere wert plus heraus
bei -3,1 wäre die Ableitung positiv: 0,51
bei -2,9 wäre sie negativ: -0,49
das wäre ein VZW von + nach -, also ein HP
x1 und x2 in die allgemeine Formel f(x) einsetzen. Die erhaltenen Werte sind die zugehörigen y Werte zu den eingesetzten x Werten. Nun hast du die Extremstellen. Um herauszufinden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkt handelt musst du nun die x Werte in f‘‘(x) einsetzen. Ist f‘‘(x) =>0 —> Tp, wenn f‘‘(x) =<0 —> Hp
Danke allerdings haben wir die zweite ableitung noch nicht genacht , sollten das deswgeen mit dem vorzeichenwechsel machen .
wie funktioniert das hier aber bei dem konkreten beispiel?
Danke sehr ! Das mit dem Vorzeichenwechsel habe ich versucht . Dafür habe ich einen wert kleiner und einen wert grösser als -3 eingesetzt , da kam aber kein vorzeichenwechesel vor was nicht sein knn .
ich weiss nämlich (weil ich den graphen habe ) dass es kein sattelpunkr ist…
Könnten sie /du vielleicht konkret an diesem beispiel zeigen wie man das mit dem vorzeichenwechsel machen knn?