Warum hat diese Menge kein Supremum in Q?
Mir ist klar, dass Q nicht Wurzel(2) hat, aber ich könnte ja beispielsweise einfach Wurzel(4) nehmen, das wäre ja größer als alle Zahlen in A und somit eine obere Schranke uznd das Supremum, da es die kleinste obere Schranke wäre oder? ALso in Q darstellbar?
2 Antworten
Wenn ich das richtig verstehe: Ist das Supremum die kleinste obere schranke.
Wurzel 4 ist 2. prüfen wir die grenze: q = 2 2^2 gleich 4.
Ok ist ausserhalb der grenze.
Nun muss man für das supremum aber die frage stellen:
Gibt es noch einen kleineren wert in Q dessen quadrat ausserhalb der grenze ist?
Testen wir mal:
19/10 ist teil von q. Das ganze zum quadrat ist 3,61.
Haben wir also einen wert gefunden der kleiner ist als wurzel 4 und noch ausserhalb der grenze liegt.
Wir müssten quasi einen wert finden. Der größer als wurzel 2 ist. Dessen nächst kleinerer wert in Q aber kleiner als wurzel 2 ist.
Und ich glaube das wird nicht möglich sein. Denn zu jedem wertepaar wirste einen wert finden der dazwischen liegt.
Warum sollte das die kleinste obere Schranke sein?
1,5 = 3/2 wäre eine z.B. kleinere und Element von Q
142/100 wäre eine noch kleinere ... usw