Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit?
Angenommen ich zeichne mit einem Stift auf einem Blatt Papier eine Linie und setze irgendwann zufällig ab. Wenn man jetzt die Länge dieser Linie in cm angibt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese cm-Anzahl eine rationale bzw. irrationale Zahl ist? Ich weiß, dass die Menge der irrationalen Zahlen eine höhere Kardinalität besitzt, als die Menge der rationalen Zahlen und es daher ja mehr irrationale Zahlen gibt als rationale Zahlen. Dennoch finde ich keine Antwort auf dieses Problem.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen!
3 Antworten
So ich beziehe mich Mal darauf
Das Beispiel ist auch nicht allzu wichtig für die Frage, es sollte nur eine Veranschaulichung für den Gedanken sein, eine Zufallszahl zwischen sagen wir 0 und 1 zu bestimmen und wie da die Wahrscheinlichkeit auf rational bzw. irrational ist. Jedoch nicht mit einem Algorithmus verwendendem Computer, sondern eine tatsächliche Zufallszahl.
Also wir haben hier eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1]
Das bedeutet dass hier Maßtheorie zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten benötigt wird.
Sei A eine (messbare, aber das ignoerien wir Mal) Teilmenge vom Intervall [0,1], dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element der Menge A zufällig ausgewählt wird, gleich Lambda(A), Lambda ist hier das sogenannte Lebesgue Maß (welches leider etwas zu kompliziert zum erklären ist). Das wichtigste hier ist aber, dass es ein Stetiges Maß ist.
Bei einem Stetigen Maß gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen einzigen Punkt immer 0 ist. Außerdem sind Maße Sigma-Additiv. Das bedeutet dass eine die Wahrscheinlichkeit einer Abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen (also Mengen, die keine Elemente gemeinsam haben) gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Mengen ist. Das bedeutet automatisch, dass die Wahrscheinlichkeit für abzählbare Mengen bei einem Stetigen Maß immer 0 ist. Die Menge der Rationalen Zahlen ist abzählbar, somit ist das Lebesgue Maß von ihnen gleich 0.
Die Wahrscheinlichkeit dass eine Rationale Zahl getroffen wird ist also genau 0. (Man sagt auch, man erhält fast sicher eine irrationale Zahl)
Vielen Dank für diese umfangreiche Antwort. Ich habe zwar nicht ganz alles verstanden, aber wohl das wichtigste und meine Frage ist damit geklärt.
Solange die verwendete Messgenauigkeit kleiner als unendlich ist hast du immer eine rationale Zahl.
Ansonsten wird's bei Messgenauigkeiten von weniger als einer Plancklänge auch nochmal interessant.
Dann nehmen wir eine solche Messgenauigkeit an.
Das Beispiel ist auch nicht allzu wichtig für die Frage, es sollte nur eine Veranschaulichung für den Gedanken sein, eine Zufallszahl zwischen sagen wir 0 und 1 zu bestimmen und wie da die Wahrscheinlichkeit auf rational bzw. irrational ist. Jedoch nicht mit einem Algorithmus verwendendem Computer, sondern eine tatsächliche Zufallszahl.
Im Endeffekt läuft das wohl auf das Verhältnis zwischen der Kardinalität der rationalen Zahlen zu der Kardinalität der irrationalen Zahlen raus. Erstere ist ja abzählbar unendlich und letztere überabzählbar unendlich.
Ich vermute man kann ein solches Verhältnis nicht bestimmen.
Für rationale Zahlen: 0%
Für irrationale Zahlen: 100%
Das liegt daran, dass zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele irrationale Zahlen liegen.
0% kommt daher, dass man die Formel Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse anwenden kann. Also 1/ Unendlich =0%
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist aber auch unendlich. Zwar sind die rationalen Zahlen abzählbar unendlich, aber dennoch unendlich. Das verwirrt mich sehr.
Wenn wir nur den Abschnitt zwischen zwei rationalen Zahlen betrachten, dann nicht. Die Unendlichkeit der irrationalen Zahlen ist "größer" als die der rationalen Zahlen.
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen auch unendlich rationale Zahlen. Ich verstehe das Argument nicht. Ich weiß, dass es mehr irrationale Zahlen gibt. Aber dennoch jeweils unendlich.
Diese Formel für Wahrscheinlichkeiten gilt nur für die Diskrete Gleichverteilung
Das ganze wird ja auch nur im Grenzwert betrachtet. Jede reelle Zahl ist diskret, aber wenn man im Grenzwert den Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen betrachtet, kommt 1/Unendlich heraus. Eine rationale Zahl zu treffen ist also im mathematischen Sinne fast unmöglich.
Das hatte ich mir auch gedacht, aber ich hatte das Gefühl, dass es ja trotzdem passieren kann, dass ich z. B. genau 2 cm weit zeichne und daher kam mir die Wahrscheinlichkeit von 0% irgendwie falsch vor..