Gibt es mehr rationale oder irrationale Zahlen?
5 Antworten
Die Mächtigkeit der rationalen Zahlen ist abzählbar, die der irrationalen nicht. Der Begriff mehr bezieht sich auf abzählbare Mengen und ist hier nicht von Bedeutung, da beide Mengen unendlich viele Elemente besitzen.
Die Frage ist, was Du unter "mehr" verstehst. Das ist in diesem Zusammenhang kein besonders präziser Ausdruck. Wenn Du "mehr" im Sinne von Kardinalität meinst, dann gibt es mehr irrationale als rationale Zahlen, da die Menge der rationalen abzählbar ist, die Menge der irrationalen Zahlen dagegen nicht. Verstehst Du "mehr" hingegen im Sinne von Mengeninklusion, dann sind die beiden Mengen nicht vergleichbar, da keine von ihnen Teilmenge der anderen ist (sie sind sogar disjunkt).
Du kannst ein Mengenverhältnis nur mit absoluten, endlichen Mengen darstellen und vergleichen. Da es aber sowohl unendlich viele irrationale wie rationale Zahlen gibt erübrigt sich der Vergleich.
Was nicht heißt dass sie endlich und damit in einem Mengenverhältnis darstellbar sind.
Gleich viele, weil es von beiden Unendlich viele gibt
Stellst Du eigentlich nur Fragen, um andere belehren oder gar als Lügner bezeichnen zu können?
Wenn jemand eine falsche Antwort gibt, muß das nicht heißen, daß er lügt. Er kann ja auch in einem Irrtum befangen sein, und davon sollte man zunächst mal ausgehen. "Schreibe respektvoll und hilf Deinen Mitlesern weiter." (Außerdem ist die Antwort nicht unbedingt knallhart falsch, da Du nicht genau spezifiziert hast, was Du unter "mehr" verstehst.)
"Er kann ja auch in einem Irrtum befangen sein, und davon sollte man zunächst mal ausgehen."
Ich habe ja nicht behauptet, dass er absichtlich gelogen hat.
Es kann auch eine versehentliche Lüge sein.
Capito?
Es gibt absichtliche Lügen und versehentliche Lügen.
Und ich habe niemand unterstellt, absichtlich zu Lügen.
Danke für die Klarstellung. Dann verwendest Du das Wort "lügen" anders als ich und anders als wohl die meisten. Laut Wikipedia ist eine Lüge "eine Aussage, von der der Sender (Lügner) weiß oder vermutet, dass sie unwahr ist, und die mit der Absicht geäußert wird, dass der Empfänger sie glaubt". So habe ich "lügen" auch immer verstanden. Man kann nicht unabsichtlich lügen. Du solltest daher, wenn due eine "unabsichtliche Lüge" meinst, nicht von "lügen" sprechen, da viele das sonst mißverstehen und in den falschen Hals kriegen.
Der Georg Cantor würde sich im Grab umdrehen, wenn er dich hören würde.
Was willst du eigentlich von mir?😂 warum stellst du die Frage überhaupt wenn du es anscheindend besser weißt?
Und wenn er seine Fragen lesen würde, die teilweise falsch gestellt sind.
Es gibt unterschiedliche Arten von "unendlich". Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich, aber abzählbar (d.h. man kann die rationalen Zahlen den natürlichen Zahlen eins zu eins zuordnen), die Menge der irrationalen Zahlen ist ebenfalls unendlich, aber nicht abzählbar. In diesem Sinne gibt es mehr irrationale als rationale Zahlen.
Ja, im Verhältnis zur Menge der reellen Zahlen ist sie das. Man könnte auch sagen: Fast alle reellen Zahlen sind irrational.
irrationale Zahlen haben eine höhere Mächtigkeit als überabzählbar unendlich im Vergleich zu den abzählbar unendlichen rationalen Zahlen.
Endlich sagt's mal einer. Man bekommt ja hier schon fast das Gruseln ;-)
Zusammengefasst: Es gibt mehr reelle (und damit auch irrationale) Zahlen als rationale. Und es gibt aber genau so viele rationale wie ganze Zahlen.
Aber keiner weiß, ob e + Pi rational oder irrational ist.
tatsächlich noch kein Beweis bekannt, zumindest mir nicht
https://proofwiki.org/wiki/Is_Pi_plus_Euler%27s_Number_Rational%3F
Ich vermute sehr stark irrational, ansonsten könnte man die Eulersche Identität nur mit pi oder nur mit e darstellen - und das wäre schon sehr krass. Aber das ist nur eine Vermutung meinerseits.
Die Rationalen Zahlen sind abzählbar.