Gibt es unendlich viele irrationale Zahlen zwischen 0 und 1?
Also ich höre immer wieder das es unendlich viele irrationale Zahlen gibt und die irrationalen Zahlen dicht in R liegen. Weiß auch das die rationalen Zahlen dicht in R liegen aber das spielt hier keine Rolle. Könnte mir also in der Theorie ein guter Mathematiker, unendlich viele irrationale Zahlen geben, welche zwischen 0 und 1 liegen? Und wenn ja, wie findet ihr die vielen irrationalen Zahlen, denn mir fallen nur die bekanntesten wie Pi oder Wurzel von 2 ein. Danke im Voraus
6 Antworten
Ja. Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen die mit 0. anfangen. Da eine irrationale Zahl per definition unendlich viele Stellen hat, gibt es auch unendlich viele Möglichkeiten, wie die Zahlen von 0 bis 9 auf jeder dieser Nachkommastellen verteilt sein kann. Diese simple Betrachtung reicht eigentlich schon.
indem ich einfach alle ausschließe, die eine periode haben
Die Wurzel aus einer nichtquadratischen natürlichen Zahl ist Irrational.
Beispiel:
sqrt(17)=4,123105625617661...
Jetzt teilt man diese irrationale Zahl durch irgendeine natürliche Zahl>4 und erhält eine irrationale Zahl größer >0 und <1.
Und die die übrig sind, sind dann noch unendlich viele.. weil? Nicht missverstehen, natürlich gibt es (sogar überabzählbar) unendlich viele irrationale Zahlen, aber die Argumentation ist nicht so einfach.
Ja, ich weiß. Hab ich ja in meiner eigenen Antwort auch so geschrieben. Es ging mir hier nur um die Argumentation.
Ich denke schon. Es gibt doch solche Dezimalzahlen mit 0, zum Beispiel: 0.111111111, 0.82746193792 ..., 0.7432987 und so weiter. Das sind alles einfach zufällige Zahlen. Es gibt ja schliesslich kein Limit für Zahlen nach dem Komma.
1 / Wurzel(n), n = 1, 2, 3, . ....
:-) Es sind aber unendlich viele irrationale darunter ...
Es gibt sehr viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. Die rationalen Zahlen sind abzählbar, die irrationalen Zahlen sind es nicht. Und das gilt sowohl für ganz R als auch für die Zahlen zwischen 0 und 1.
Irrationale Zahlen kannst du dir ganz einfach konstruieren, z. B. sind alle Zahlen
für alle positiven rationalen Zahlen irrational und liegen zwischen 0 und 1. Das sind schon mal abzählbar unendlich viele, aber wie gesagt: es gibt noch viel mehr, eben überabzählbar viele.
Nimm die Wurzel einer nichtquadratischen natürlichen Zahl. Damit hast Du eine irrationale Zahl. Ziehe den ganzzahligen Anteil der Wurzel ab, und Du hast eine irrationale Zahl zwischen 0 und 1. Da es unendlich viele nichtquadratische natürliche Zahlen gibt, kannst Du auf diese Weise unendlich viele irrationale Zahlen zwischen 0 und 1 errechnen.
Beispiel:
sqrt(17)=4,123105625617661...
4,123105625617661...-4=0,123105625617661...
Oder noch einfacher:
Nimm irgendeine natürliche Zahl n>4
0<4,123105625617661.../n<1
Und woher weißt du, dass das dan auch alles welche sind, die irrational sind? Könnten ja auch rational sein mit sehr langer Periode. Du sagst ja erstmal nur, dass es unendlich viele Dezimalzahlen gibt, ja gut, aber müssen die dann auch irrational sein?