Frage von adoreocean, 106

Was sind reelle Zahlen genau, sind sie unendlich oder nicht?

Hi!
Ich schreibe morgen eine Klassenarbeit in Mathe und hätte da n paar dringende Fragen!
Reelle Zahlen ergeben sich aus irrationalen und rationalen Zahlen, das ist mir klar.
•Irrationale Zahlen sind aber unendlich, also Reelle Zahlen doch auch oder etwa nicht, wegen den Rationalen Zahlen?
•Und umfassen Reelle Zahlen wirklich ALLE Zahlen? (So dass man in einer Tabelle zB alle möglichen Zahlen zu den reellen Zahlen tun kann?)
Freue mich über jede hilfreiche Antwort!
PS: Wäre lieb wenn man Beispiele nennt, falls ich mit meinen Ahnungen komplett falsch liege.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 104

Hallo,

die Menge der reellen Zahlen ℝ füllt die gesamte Zahlengerade lückenlos aus. Die vereinigt die Menge der rationalen Zahlen ℚ - also aller Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, wozu auch die periodischen Brüche gehören - mit der Menge der irrationalen Zahlen, die unendlich viele Stellen hinter dem Komma aufweisen, ohne irgendwann periodisch zu werden.

Wenn Du nicht nur die Zahlengerade, sondern auch die Zahlenebene füllen willst, brauchst Du die Menge der komplexen Zahlen ℂ, die aus zwei Komponenten bestehen, der realen und der sogenannten imaginären, z.B. 3+2i.

Herzliche Grüße, Willy

Kommentar von adoreocean ,

Vielen Dank!

Antwort
von Rubezahl2000, 52

In der Schule wird nur ein winzig kleiner Teilbereich der Mathematik behandelt. In der "richtigen" Mathematik geht's um viel komplexere und höher dimensionale "(Zahlen-)Räume" als der einfache Zahlenstrahl der reellen Zahlen.
Deshalb umfasst das, was in der Schul-Mathematik behandelt wird, niemals "ALLES".

Die reellen Zahlen umfassen NICHT ALLE Zahlen. Es gibt zusätzlich zu den reellen Zahlen z.B. noch komplexe / imaginäre Zahlen (z.B √(-1) ist eine imaginäre Zahl, aber KEINE reelle Zahl), aber in eurem Mathe-Unterricht geht's vermutlich nicht über die rellen Zahlen hinaus.
Insofern umfassen die reellen Zahlen sicherlich all die Zahlen, die ihr bislang kennengelernt habt, aber nicht alle, die es gibt.

"Sind reelle zahlen unendlich?" Wie meinst du das genau?
Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Aber "unendlich lang" sind sie nicht unbedingt. Z.B. sind die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Und die ganzen Zahlen haben KEINE Nachkommastellen.

Auf jeden Fall gibt's KEINE "Lücken" zwischen den reellen Zahlen. Wenn du 2 beliebige reelle Zahlen nimmst, dann sind ALLE Zahlen, die dazwischen liegen, auch reelle Zahlen.

Kommentar von adoreocean ,

Vielen lieben Dank! Das hat mir wirklich geholfen!:)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 58

"Irrationale Zahlen sind aber unendlich, also Reelle Zahlen doch auch oder etwa nicht, wegen den Rationalen Zahlen?"

Es gibt unendlich viele Rationale Zahlen, Irrationale Zahlen und Reelle Zahlen. (auch unendlich viele Ganze Zahlen und Natürliche Zahlen)

"Und umfassen Reelle Zahlen wirklich ALLE Zahlen? (So dass man in einer Tabelle zB alle möglichen Zahlen zu den reellen Zahlen tun kann?)"

Man sagt, dass sie dicht sind. Das heißt, es gibt keine Lücken zwischen einzelnen Elementen der Menge. Man kann allerdings den Zahlenbereich erweitern, indem man ins Zweidimensionale geht (so ähnlich wie bei den Rationalen Zahlen). Dann sagt man dazu "Komplexe Zahlen".

Theoretisch kannst du noch weitere Dimensionen hinzufügen und wilde Operationen darauf definieren, aber gängig ist, die Komplexen Zahlen als bekanntesten, benamten Zahlenraum anzuerkennen, der die anderen Zahlenräume beinhaltet.

Kommentar von adoreocean ,

Dankeschön! Leider hast du meine erste Frage falsch verstanden, bzw hab ich mich undeutlich ausgedrückt ich meinte damit, ob die Nachkomma stellen unendlich sind oder nicht😄

Kommentar von Suboptimierer ,

Ja, die Nachkommastellen sind sowohl bei den Rationalen Zahlen als auch bei den Irrationalen Zahlen unendlich. Der Unterschied ist, dass sie bei den Rationalen Zahlen periodisch sind. Das heißt, dass sich ab einer bestimmten Stelle hinterm Komma die Ziffern(folge) in einer festen Länge wiederholen.

Kommentar von Willy1729 ,

Du solltest vielleicht noch erwähnen, daß auch eine Zahl wie 2 unendlich viele Nachkommastellen hat, weil Du sie auch als 2,000000000.... schreiben kannst. Somit wäre auch eine ganze Zahl als periodischer Bruch aufzufassen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Suboptimierer ,

Hätte ich auf Nachfrage gemacht. ;) 
Jetzt hast du es glas-klar-gestellt.

Antwort
von gellertkatze, 45

Sie umfassen nicht alle zahlen.
Bei den reelen zahlen findest du aber Zahlen wie pi oder wurzel 2 oder e , welche unendlich sind.
Es gibt noch die Komplexen zahlen wie die wurzel aus -2. Die sind aber in der schule uninteressant; )

Kommentar von adoreocean ,

Dankeschön! Wobei, ich bin jetzt etwas verwirrt: Ich war mir sicher, Wurzel 2 gehöre zu den irrationalen Zahlen, da sie nicht als Bruch dargestellt werden kann, weder auf einer Zahlengerade eingetragen werden kann, da sie unendlich ist. (1,4142.....)

Kommentar von Willy1729 ,

gellertkatze sprach von der Wurzel aus (-2). Die gehört in den Bereich der komplexen Zahlen.

Die Wurzel aus 2 läßt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und ist somit eine irrationale Zahl, gehört also auch in die Menge der reellen Zahlen, aber nicht zu der Menge der rationalen Zahlen, die eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von adoreocean ,

Ach und: Reelle Zahlen sind also doch unendlich?

Kommentar von Willy1729 ,

Unendlich viele Nachkommastellen bedeutet nicht, daß eine solche Zahl nicht auf die Zahlengerade paßt. Auf einer Zahlengerade stellt jede Zahl nur einen Punkt dar - und ein Punkt nimmt strenggenommen keinen Platz weg. Du schreibst dort keine Zahlen auf. Die Nachkommastellen brauchst Du nur, wenn Du diese Zahl zwischen anderen einordnen willst. Die Kreiszahl Pi liegt irgendwo zwischen 3,14 und 3,15. Wo genau, kann beliebig genau definiert werden, aber nicht exakt, weil Du im ganzen Universum keinen Platz hättest, um alle Nachkommastellen aufzuschreiben. Nur als geschriebene Zahl wäre sie also unendlich groß - auf der Zahlengeraden aber ist sie ein ebensolcher Punkt wie 1 oder 2.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Chrissi9727, 36

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl

Da dürftest du mehr darüber finden wie hier :P

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