Warum gehören periodische Dezimalzahlen nicht zu den irrationalen Zahlen, obwohl sie unendlich viele Nachkommastellen haben?
Ich weiß, dass die Nachkommastellen sich periodisch wiederholen und das ist der Grund. Aber was bewirkt dies, sodass Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen sich periodisch wiederholen, nicht als irrationale Zahlen betrachtet werden?
5 Antworten
irrationale Zahlen heißen so, weil sie nicht durch ein Verhältnis (Ratio) zweier ganzer Zahlen darstellbar sind. Die rationale Zahl 2/3 zB ist aber 0,66666....periodisch.
Rationale Zahlen sind defintonsgemäß alle Zahlen, die sich als Bruch p/q darstellen lassen.
Und man kann beweisen, dass sich periodische Zahlen (egal ob Dezimalsystem, oder binäres Zahlensystem oder Hexadezimales Zahlensystem oder ein beliebiges anderes Stellenwertsystem) stets als Bruch darstellen lassen.
Die können auch als Bruch mit endlicher Anzahl Ziffern dargestellt werden. Die unendliche Anzahl Ziffern als Dezimalzahl ist nur eine Folge der gewählten Darstellung, keine Charakteristik der Zahl an sich.
Weil sie nicht "irrational" sind.
Das ist nun einmal die Definition von irrationalen Zahlen, das sie auch keine periodischen Dezimalstellen haben dürfen.
Denn eine Periode bei den Nachkommastellen bedeutet ja, das sie durch einen Bruch darstellbar wären (z.B. ⅓ = 0,3333333333…)
Periodische Dezimalzahlen können nicht irrational sein, da sie als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, während bei irrationale Zahlen dies nicht möglich ist.