Dezimalzahl die sich nicht periodisch wiederholt?
Guten Tag :) Zurzeit haben wir als Thema in der Schule 'irrationale & rationale Zahlen'. Ich habe mich schon im Internet darüber informiert was irrationale Zahlen sind. "Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen. Meine Frage wäre was mit 'nicht periodisch wiederholen' gemeint ist. Kann mir das jemand erklären? Danke im Voraus !
5 Antworten
Pi ,phi, wurzel von 2 etc.
Außerdem, lassen sie sich auch nicht als Bruch darstellen. Beispiel 22/7 erzeugt eine periodisch wiederholende Dezimalzahl 3,1428571...1428571 es geht also immer wieder so weiter. Wiederholt sich also periodisch.
Genau das wollen Lehrer hören: irrationale Zahlen lassen sich nicht durch Brüche darstellen!
Mit der primitiven Division können nur endlich viele oder periodisch wiederkehrende Nachkommastellen erzeugt werden.
Für die irrationalen Zahlen benötigt man aber Algorithmen (Bildungsgesetze), die nie enden wie unendliche Summen, unendl. Produkte, unenl. Kettenbrüche, unendl. Iterationen, hypergeometr. Funktionen.
Für die häufigsten dieser Algorithmen hat der Mensch Funktionsnamen vergeben wie "Wurzel"{besser sqrt(x) }, asin(x), ...
Aber nicht jedes Argument dieser beschriebenen Funktionen erzeugt automatisch immer eine irrationale Zahl. Bei Wurzeln sind es Primzahlen und NICHT-Quadrahtzahlen (wie 21)
Periodisch wiederholt wäre zb 1,567567567... . Die zahlenabfolge 567 wiederholt sich unendlich. Das Gegenteil dazu wäre dann zb 1,57854322987694... . In dieser dezimalzahl herrscht hinter dem Komma keine sich ständig wiederholende Zahl, sondern andauernd andere Zahlen.
Eine Zahl mit Stellen hinter dem Komma, die sich periodisch wiederholen (das heißt in regelmäßigen Abständen immer gleich sind) wäre zum Beispiel 0,3333333..., ein anderes 0,030303... beide kann man als Bruch schreiben (1/3 bzw. 1/33). Bei Zahlen wo mein so ein "Muster" nicht findet, spricht man dann von irrationalen Zahlen, zum Beispiel Pi. http://www.pibel.de/ (kannst ja mal suchen, wenn du was findest gibts den Mathematiker-Nobelpreis ;-))
3/9 zB ist 0,3333333333.... ("0 komma periode 3"), da wiederholt sich die 3 periodisch. Gibt aber zB auch sowas wie 0,123123123123123123... (wo siche das 123 immer wiederholt).
Bei Zahlen wie Pi oder e ist das nicht so - die wiederholen sich nie sind aber trotzdem unendlich.