Zahlenmengen - wie geht das bei Wurzeln?
Hallo. Es geht hier um die Zahlenmengen N, Z, R, Q und irrational.
Bei den meisten Zahlen habe ich es auch soweit verstanden, denke ich, aber bei so ein paar Beispielen macht es mir noch Probleme.
zB. 8/9 ist ja rational weil ihr Ergebnis eine periodische Dezimalzahl ergibt... ist das richtig? Was ist aber z.B. wenn da 8/7 steht. Ist die dann rational, weil es ja schon als Bruch da steht. oder kommt es auf das Ergebnis an. Da ist das ja eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Kommastellen und damit irrational.....???
Gleiches Problem bei Wurzeln: Ich habe ja gelernt, dass alle Wurzeln aus nicht quadratischen Zahlen irrational sind.
Was ist mit "Wurzel aus 0,23 (mir Periodenzeichen über 23)" ? Null Komma Periode 23 ist ja keine Quadratzahl also ist die Wurzel davon irrational?
Oder noch schlimmer: (Wurzel aus 5)2 ... wäre im Ergenis ja 5 .... heißt das (Wurzel aus 5)s ist natürlich?? Dann wäre es ja auch rational...
Und bei Wurzel aus 25 ... ist ja klar rational. Aber ist sie auch natürlich?
Also langer Rede kurzer Sinn: Wenn ich Wurzeln die Zahlenmengen zuordnen soll, kommt es dann auf das Ergebnis der Wurzel an oder auf die Wurzel so wie sie da steht.
Sorry wenn es sich verwirrend anhört.... so sieht es auch in meinem Kopf aus gerade xD
Bin für jede Hilfe dankbar :)
2 Antworten
Natürliche Zahlen sind die, die du beim Zählen verwendest, sprich 1,2,3,4,5,6...., ob die 0 dazugehört ist Definitionssache.
Rationale Zahlen sind dadurch definiert, dass man sie als ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen kann. Das bedeutet grob gesagt, alle Brüche.
Dazu gehören dann auch deine 8/7.
Das bedeutet aber auch, dass alle natürlichen Zahlen rational sind, denn 5 ist 25/5 , 7 ist 49/7 usw.
Irrational sind dann alle Zahlen, die man zwar auf einem Zahlenstrahl existieren, die aber nicht rational sind, z.B √2
Die Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen sind die reellen Zahlen.
Dann gibt es natürlich noch die komplexen... aber eines nach dem anderen.
Bin mir nicht sicher, ob ich dein Problem verstehe.
Aber da hast du recht. Bei deinem Beispiel löst sich die Wurzel auf, das Ergebnis ist 5 und 5 ist eine natürliche Zahl, deswegen auch Wurzel 5 hoch 2.
Du hast ganz viele falsche Dinge gehört. Was Dir wirklich fehlt, ist eine gute Definition der Mengen.
- Natürliche Zahlen (N): Alle Zahlen, die sich aus einer natürlichen Zahl + 1 ergeben, beginnend bei 1
- Ganze Zahlen (Z): Alle natürlichen Zahlen, ihr negatives und 0
- Rationale Zahlen (Q): Alle Zahlen, die sich als Bruch aus einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner darstellen lassen
- Reelle Zahlen (R): Alle Rationalen Zahlen sowie die Zahlen, die die Lücken auf dem Zahlenstrahl zwischen den rationalen Zahlen füllen
Zudem ist Dein Konzept der Quadratzahlen nicht sonderlich schlüssig.
Hallo, danke für deine Antwort. Die Definitionen der Mengen kenne ich ja. Und Zahlen wie 7; o,25 ; 3/4 usw könnte ich auch gut einordnen...
Problematisch sind die Wurzeln und bei Brüchen die Unterscheidung rational/irrational. Hieß es doch Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind irrational.... dann müsste 8/7 doch eigentlich auch irrational sein :(
Und bei den Wurzeln weiß ich eben nicht, ob es auf das ausgerechnete Ergebnis der Wurzel ankommt.
Bzw alle geben immer √2 als klassisches Beispiel der irrationalen Zahlen an. Sind dann √3,√5,√6,√7... auch alle irrational ?
Da hast Du wohl ein => mit einem <=> verwechselt. Alle irrationalen Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, aber nicht alle Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind auch irrational. ALLES, was Du als Bruch von ganzen Zahlen darstellen kannst, ist rational.
Die aufgezählten Wurzeln sind auch allesamt irrational. Wenn Du die Wurzel nicht ohne Runden lösen kannst, dann ist das Ergebnis irrational.
Hallo, danke für deine Antwort. Im Großen und ganzen habe ich ja verstanden, was die Zahlenmengen bedeuten und welche Zahlen dazugehören.
Mir machen nur die Wurzeln Probleme, weil ich nicht weiß, ob es auf die Zahl in der Wurzel ankommt (bei Wurzel aus 5 hoch 2). Wenn der Lehrer es so hinschreibt ... kreuze ich dann auch "natürliche Zahl" an, weil das Ergebnis ja 5 ist ... ich hoffe, du verstehst mein Problem x)