Frage von duster45, 137

Negative Wurzel irrational oder rational?

Heyho, ich habe mal eine Frage. In unserem Buch steht, dass die negative Wurzel aus 4 irrational sein soll. Aber warum sollte das sein? Und wie sieht es aus bei negative Wurzel aus 16, da soll es dann rational sein. Kann mir das bitte jemand detailliert erklären?

Danke :) Mfg

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 70

-√4 ist genauso wenig irrational wie -√16.

Denn -2 und -4 sind ganze Zahlen und somit auch rational.

Wenn es um den negativen Radikanten geht, dann gilt:

√-4, √-16 ∈ ℂ

Das sind dann aber auch keine irrationalen, sondern konplexe Zahlen.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von vikiller01 ,

Jo das stimmt👌

Kommentar von duster45 ,

Wusste ich es doch :D Ich frage gern lieber nach, den im Mathebuch (Gymnasium) steht halt bei -Wurzel 4 soll irrational sein. Wahrscheinlich kleiner fehler, das Buch ist aber auch wegen g9 neu rausgekommen ;).

Also nochmal: -Wurzel 4 rational, -Wurzel 16 rational, -Wurzel 49 rational und z.B. -Wurzel 15 irrational?

Kommentar von Willibergi ,

Ich kann mir absolut nicht vorstellen, dass ein Mathebuch, das zusätzlich gerade neu rausgekommen ist, so einen Schwachsinn behauptet.

-√4, -√16, -√49 ∈ ℚ

-√15 ∉ ℚ

LG Willibergi

Kommentar von duster45 ,

In dem Buch werden Beispiele als irrationale Zahl angegeben. Das ist z.B. Pi, -Wurzel 5, Wurzel 7 und halt auch -Wurzel 4 ;)

Kommentar von Willibergi ,

Seltsam.

-√4 ∈ ℝ \ ℚ ist definitiv falsch.

So ein Sachfehler darf Lehrbuchautoren eigentlich nicht passieren.

LG Willibergi

Kommentar von duster45 ,

Hab noch das Bild dazu geschickt weiter unten :D

Kommentar von Zwieferl ,

Vielleicht haben Kabarettisten wie Georg Schramm, Volker Pispers etc. doch Recht mit ihren Beiträgen zur Bildung 😈

Antwort
von Saphir7014, 55

Eine rationale Zahl ist dadurch definiert, dass sie als Bruch a/b dargestellt werden kann, wobei a und b ganze Zahlen sind.

-(√4) = -2 = -2/1 , dabei sind -2 und 1 ganze Zahlen, deshalb ist -(√4) eine rationale Zahl. Dasselbe gilt für -(√16), das ist -4

Es muss jedoch beachtet werden, dass sich das alles auf die Quadratwurzel bezieht. Es gibt aber auch die dritte Wurzel, die vierte Wurzel etc.

Wenn man das obige Beispiel auf die vierte Wurzel anwendet, dann sagt dein Buch die Wahrheit. Die 4. Wurzel aus 4 ist irrational, die 4. Wurzel aus 16 ist genau 2 (ob das ganze positiv oder negativ ist, spielt für die Irrationalität keine Rolle).

Wenn du jedoch √(-4) bzw. √(-16) meinst, dass sind in der Tat irrationale Zahlen, egal ob es die 2., 3. oder irgendeine andere Wurzel ist.

Kommentar von Willibergi ,

"Wenn du jedoch √(-4) bzw. √(-16) meinst, dass sind in der Tat irrationale Zahlen, egal ob es die 2., 3. oder irgendeine andere Wurzel ist."

Die Wurzel einer negativen Zahl mit geradem Wurzelexponenten ist immer komplex, nicht reell, nicht rational, nicht irrational.

Die Wurzel einer negativen Zahl mit ungeradem Wurzelexponenten ist reell, kann rational, aber auch irrational sein.

LG Willibergi

Kommentar von Saphir7014 ,

In Bezug auf die Wurzel einer negativen Zahl mit ungeradem Wurzelexponenten hast du Recht und ich habe mich geirrt. Z. B. ³√(-1) = -1 weil (-1)³ = -1. Vielen Dank für die Korrektur.

Die Wurzel einer negativen Zahl mit geradem Wurzelexponenten ist Teil der Menge der komplexen Zahlen, sie gehört aber nicht zu den rationalen Zahlen. Jedoch sind irrationale Zahlen dadurch definiert, dass sie nicht rational, aber reell sind, und die erwähnten Zahlen sind nicht reel.

Ich entschuldige mich deshalb für meine Irrtümer und bedanke mich für die Korrektur.

Kommentar von duster45 ,

Wurzel -4 ist doch komplex!?

Kommentar von YStoll ,

Vermutlich hat Saphir gedacht, dass irrational = nicht rational

Kommentar von Willibergi ,

Richtig, es gilt:

Irrational ⇒ nicht rational, aber

nicht rational ⇏ irrational

LG Willibergi

Kommentar von Zwieferl ,

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht irrational, sondern imaginär! Es handelt sich also um nicht-reelle Zahlen!

Antwort
von wictor, 73

Bist du sicher, dass es um -wurzel(4) geht und nicht um wurzel(-4)? Das erstere ist nämlich rational, während das zweite komplex ist.

Kommentar von duster45 ,

-Wurzel 4 geht es. Das soll rational sein? Ich Mathebuch steht klar drin, dass das irrational ist. Hättest du die Erklärung für rational? :)

Kommentar von PWolff ,

Lies noch mal nach, ob du dich nicht verlesen hast.

Welches Mathebuch behauptet, -√4, also -2, wäre irrational?

Kommentar von duster45 ,

Das von Neue Wege g9 Niedersachen (neue Auflage) wird aber wahrscheinlich Druckfehler sein. Deshalb habe ich sicherheitshalber nachgefragt ;)

Kommentar von wictor ,

Das sollte dann wohl -wurze(2) sein, dann wäre es richtig.

Kommentar von wictor ,

Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen abbilden lassen. -Wurzel(4) ist -2 und fällt somit unter diese Kategorie. Wurzel(2) dagegen ist keine rationale Zahl.

Antwort
von Rubezahl2000, 49

Drück dich bitte mal deutlicher aus!
Was meinst du mit "negative Wurzel aus 4"?
Das klingt wie -√4 und das ist -2 also eine ganze, rationale Zahl.

Oder meinst du √(-4) ?
Wurzel aus einer negativen Zahl, damit verlassen wir die reellen Zahlen und kommen zu den komplexen Zahlen mit der imaginären Zahl i
√(-4) = √(-1) • √4 = 2i

Kann es sein, dass du die Begriffe "irrational" und "imaginär" verwechselst?

Kommentar von duster45 ,

Genau wie du es beim ersten mal beschrieben hast ;)

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Falls in deinem Mathebuch wirklich steht: 
" -√4 ist irrational "
dann ist das falsch!
Welches Mathebuch ist das?

Kommentar von duster45 ,

Neue Wege 9 Niedersachen. Neue Auflage wegen G9 ;). Auch wenn mir das keiner glauben will, -Wurzel 4 ist in der irrationalen Box eingetragen... das war mir komisch und deswegen habe ich nachgefragt ;)

Antwort
von YStoll, 29

Kannst du ein Foto von der Stelle machen und hochladen?

Wenn du eine neue Antwort schreibst hast du die Möglichkeit Bilder hochzuladen.

Dann sehen alle den Druckfehler und können sich selbst von diesem überzeugen.

Kommentar von duster45 ,

Jo hast Recht :D

Antwort
von vikiller01, 51

In Mathe wie ich weiß ist überhaupt nicht wichtig was rational und was irrational ist.

Was du einfach wissen musst ist:

Mann kann keine Wurzel ziehen aus negativen zahlen!

Wenn dann kommt eine i Zahl was du eigentlich nicht wissen brauchst.

Wenn du zum Beispiel die wurzel 4 ziehst kann es zwei Lösungen haben 

1. 2

2. -2 

da 2 hoch 2 gleich 4 ist und -2 hoch 2 auch 4 ist.

Ich glaube das meintest du oder?

Kommentar von duster45 ,

Also es gibt ja Wurzel aus 4 und -Wurzel aus 4. Und bei -Wurzel 4 war halt meine Frage, ob es rational oder irrational ist und warum das so wäre ;)

Kommentar von vikiller01 ,

Ok 👌

Auch wenn du PQ Formel machst siehst du das die Nullstelle eine Negative Zahl und eine Positive Zahl gibt. Die Parabel ist der beweis😂

Kommentar von Willibergi ,

"Wenn du zum Beispiel die wurzel 4 ziehst kann es zwei Lösungen haben"

Eine Wurzel ist als positiv definiert.

√4 = 2 ≠ -2

Sonst wäre der Ausdruck ambivalent und das ist in der Mathematik immer schlecht. ;)

LG Willibergi

Kommentar von vikiller01 ,

Jou👌 die Mathematiker sind halt faul

Kommentar von Willibergi ,

Nicht faul, eher logisch und strukturiert.

LG Willibergi

Kommentar von Rubezahl2000 ,

@vikiller01:
Sorry, aber in deiner Antwort sind mehrere Behauptungen schlichtweg falsch!

Antwort
von clemensw, 48

-√4 = -1 * √4 = -1 * 2 = -2, also eine rationale Zahl.

√-4 ist irrational.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

√-4 ist nicht irrational, das ist nicht mal reell!
√-4 ist komplex!

Kommentar von Willibergi ,

"√-4 ist irrational."

Nein! √-4 ist allenfalls komplex!

LG Willibergi

Kommentar von clemensw ,

Ja, du hast ja Recht - ich hatte meinen Kopf gerade woanders  :-(

Asche auf mein Haupt...

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