Sind die Wurzeln irrational oder rational?
Sind die Wurzeln rational oder nicht rational
Wurzel aus 0.1
Wurzel aus 0.144
Wurzel aus 17÷100
3 Antworten
Alle Wurzeln von nicht quadratischen Zahlen sind zwingend irrational.
( Beweis durch Wiederspruch: √2 ist irrational.
Wenn √2 irrational ist, heißt das, dass sich √2 nicht als Bruch schreiben lässt. Für den Beweis nimmt man also das Gegenteil an und leitet hieraus einen Widerspruch her.
Annahme: √2 ist rational und lässt sich somit als Bruch schreiben. Dann gibt es positive Zahlen a und b, für die Folgendes gilt: √2=a/b.
Nun die Gleichung umformen und quadrieren: a=√2*b, a²=(√2*b)²=2*b²
*Behauptung:* Zerlegt man eine Quadratzahl in ihre Primfaktoren, so kommt der Faktor 2 in jeder Quadratzahl nur in gerader Anzahl 0, 2, 4, 6, 8, vor. Beispiele: 64=2*2*2*2*2*2=2⁶, also kommt der Faktor 2 sechs Mal vor; in 81 = 3⁴ kommt der Faktor 2 null Mal vor.
3 Beispiele: 36=2*2*3*3=2²*3²
49=7⁷
144=2*2*2*2*3*3=2⁴*3²
Auf der linken Seite steht die Quadratzahl a²: Der Faktor 2 kommt in ihr in gerader Zahl vor.
Auf der rechten Seite steht die Quadratzahl b²: Der Faktor 2 kommt in ihr in ungerader Anzahl vor.
Ein Widerspruch, dementsprechend sind die Wurzeln aus nicht quadratischen Zahlen zwingend irrational.)
In dem ersten Beispiel siehst du das Motiv 0,100. 100 ist eine Quadratzahl. Man kann nun von den bekannten Quadratzahlen in zweier Stufen heruntergehen. Alle diese Zahlen sind Quadratzahlen. Zehn (Eine Stufe unter 100) ist keine Quadratzahl, Eins aber schon. Das liegt daran, das die Wurzel aus Eins eins ist und aus 100 Zehn. Also eine Null mehr in der Zahl welche quadriert wird, führt zu zwei weiteren Nullen in der nächsten Quadratzahl dieses Motives. Wenn man wieder zwei Stufen herunter geht, kommt man auf 0,01. 0,1 liegt dazwischen und ist daher irrational, da es keine Quadratzahl ist. Das gleiche kann man bei Beispiel 2 anwenden. 12*12=144.
14,4 (Keine)
1,44 (QZ)
0,144 (Keine!)
0,0144 (QZ).
Die 1,7 ist kein bekanntes Muster einer Quadratzahl. Wenn man die Dezimalstelle aufhebt indem man zwei Stufen auf 170 hoch geht, weiß man das die Zahl 1,7 auch keine Quadratzahl ist, da 170 das ja sonst auch sein müsste. 170 liegt aber zwischen 13²=169 und 14²=196.
Daher sind alle drei Beispiele irrational.
Ja ok, die Varianten zählen dazu. 144 ist immerhin eine Quadratzahl
Stimmt, die hatte sich böswilliger Weise darin versteckt...
0,0144 ist aber das Quadrat von 0,12...
Edit: Ach herrgott...da haben sich die anderen Kommentare nicht ausgeklappt ^^
Simple Methode mit Taschenrechner: Wenn da keine periodische Zahl erkennbar ist, ist es irrational. Geht aber mit bloßem Auge tatsächlich schneller, wenn du verstehst, was rationale Zahlen sind und was irrationale.
Rationale Zahlen nennt man auch Bruchzahlen. Man hat sie eingeführt, weil man das Problem hatte mit den "ganzen Zahlen" nicht alle Brüche darstellen zu können.
Wollte man 3 durch 4 teilen, ging das nicht. Nun ist das ¾ oder 0,75. Eine Bruchzahl. Dementsprechend müssen beide Teile (Dividend/Zähler und Divisor/Nenner) eine ganze Zahl sein.
Nun ist es so, dass wenn du eine Quadratwurzel aus einem Bruch ziehen willst also bspw. aus "0,5625" - das wären "9 / 16", dann schreibst du Du kannst aber genau so gut schreiben Absolut das gleiche.
Die Wurzel aus 9 ist 3.
Die Wurzel aus 16 ist 4
Die Wurzel aus 0,5625 ist folglich ¾ bzw 0,75.
Es folgt: Wenn du die Wurzel aus einem Bruch ziehst, müssen Dividend/Zähler/oben und Divisor/Nenner/unten eine Quadratzahl sein. Wie beispielsweise 9 und 16.
Ist das an einer Stelle keine Quadratzahl, ist es keine rationale Zahl.
Du musst also nur nach den Quadratzahlen schauen.
Jetzt schaust du dir deine Beispiele da oben an.
0,1 als Bruch ist: 1 ist 1², aber 10 ist keine Quadratzahl. → Keine rationale Zahl. easy
0,144 als Bruch ist: 144 ist 12², aber 1000 ist keine Quadratzahl. → Keine rationale Zahl. nich schwer
100 ist 10², aber 17 ist keine Quadratzahl. → Keine rationale Zahl. zack - fertig
So schnell wie du das im Kopf machst, kannst du gar nicht aufm Taschenrechner tippen. Und das obwohl ich, was die Tippgeschwindigkeit angeht, nur das beste von dir glaube ;-)
Alle irrational, Form sie in Brüche um und du wirst sehen, dass es entweder für den Zähler oder Nenner kein a bzw. b € Z geben wird.
Alle Wurzeln von nicht quadratischen Zahlen sind zwingend irrational.
Finde ich missverständlich:
Wurzel aus 0,0144 ist rational, würde ich aber als "nicht quadratisch" bezeichnen.