Die Zahl Pi (3,14...) ist eine irrationale Zahl; oder ist sie etwa doch rational (normal)?
Hi, rationale (normale) Zahlen sind ohne Komma Stellen (3), mit begrenzten Kommastellen (1,75) oder mit periodischen Kommastellen (1,99999... oder 1.25252525...). Könnte auch Pi eine rationale Zahl sein? Wenn man möglichst viele Stellen kennt? Mathematiker sollen es neuerdings angeblich für möglich halten, daß Pi rational sei. Wer weiß Näheres? Gruß Osmond
6 Antworten
Hallo,
dann erklär mir mal bitte "möglichst viele Stellen" ?
Also mein Stand der Dinge ist, dass die Zahl Pi bis zur 300-Milliardsten Stelle berechnet wurde.
Das zeigt doch eher die Tendenz, dass diese Zahl nicht genau ermittelt werden kann.
Gruß
Wie wär's, wenn du den Artikel, auf den du verlinkst, erstmal liest?
Da steht:
"Daß Pi irrational ist, wissen die Mathematiker schon seit mehr als zweihundert Jahren. Was sie jedoch nicht wissen und was sich hartnäckig jedem Zugriff verweigert, ist die Antwort auf die Frage: Ist Pi normal? Unter der Normalität einer irrationalen Zahl versteht man in diesem Zusammenhang eine statistisch gleichmäßige Verteilung der Ziffern auf ihre unendlich vielen Stellen." (Quelle: Dein Link)
Was ist daran so schwer zu verstehen?
Also Pi könnte auch eine rationale Zahl sein, wenn sich irgendwann eine stete Wiederholung in den Nachkommastellen "einpendelt" oder aber sich die ganze Reihe irgendwann wiederholt.
Innerhalb der ersten paar Tausend Stellen ist kein Muster erkennbar, was nicht heißt, dass z.B. nach 50 Mio Nachkommastellen nicht doch ein Muster beginnt, nur hat man es noch nicht entdeckt, da man soweit noch gar nicht gerechnet hat - das wird jedoch als eher unwahrscheinlich (jedoch nicht als gänzlich unmöglich) angesehen.
Dass Pi irrational ist, wurde vor ca 250 Jahren von dem Mathmatiker Lambert bewiesen.
Also Pi könnte auch eine rationale Zahl sein,
Nein.
wenn sich irgendwann eine stete Wiederholung in den Nachkommastellen "einpendelt"
Wie, bitte schön, soll das gehen? Eine berechnete Ziffernfolge ist immer endlich, "periodisch" bezieht sich aber auf eine unendliche Ziffeernfolge. So ein Schluß ist unmöglich.
Innerhalb der ersten paar Tausend Stellen ist kein Muster erkennbar
Billionen, aber egal:
was nicht heißt, dass z.B. nach 50 Mio Nachkommastellen nicht doch ein Muster beginnt,
Und wenn man nach 50 Millionen berechneten Stellen irgendeiner Zahl ein "Muster" findet, weiß man eben sowenig, ob es nach 75Mio, oder 100Mio Stellen nicht doch wieder irregulär weiter geht.
Berechnete Ziffernfolgen taugen nicht, um die Rationalitiät oder Irrationalität einer Zahl zu beweisen oder zu widerlegen. Weil berechnete Ziffernfolgen immer nur endlich lang sind. Deswegen sind sie für so eine Frager schlicht wertlos.
nur hat man es noch nicht entdeckt, da man soweit noch gar nicht gerechnet hat
Man hätte nie weit genug gerechnet, weil man ja eine Aussage über die Gesamtheit einer unendlichen Ziffernfolge machen müsste. Berechnete Ziffernfolgen sind aber immer endlich.
das wird jedoch als eher unwahrscheinlich (jedoch nicht als gänzlich unmöglich) angesehen.
Was ein Phantasieprodukt von dir ist. Der Schluß ist niemals der von der Ziffernfolge auf die Rationalität oder Irrationalität (dies wäre unmöglich), sondern genau umgekehrt von der Rationalität bzw Irrationalität auf die Ziffernfolge. Siehe meine Antwort hier auf dieser Seite.
Hi, rationale (normale) Zahlen sind ohne Komma Stellen (3), mit begrenzten Kommastellen (1,75) oder mit periodischen Kommastellen (1,99999... oder 1.25252525...).
Oder gemischt-periodisch, das vergessen die meisten. Aber egal, denn das ist nicht die Definition der rationalen Zahlen, sondern nur ein Satz über das Stellenwertsystem. Die Definitionen für rationale bzw irrationale Zahlen lauten:
- Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen (Bruch) schreiben lassen.
- Irrationale Zahlen sind Zahlen, die sich nicht Verhältnis zweier ganzer Zahlen (Bruch) schreiben lassen.
In den Definitionen kommen keine Nachkommastellen vor.
Man kann dann beweisen, dass eine rationale Zahl stets eine abbrechende, rein-periodische oder gemischt-periodische Dezimaldarstellung hat; eine irrationale stets eine unendliche nicht-periodische.
Könnte auch Pi eine rationale Zahl sein?
Nein. Pi ist irrational, das wurde bereits vor 250 Jahren bewiesen (daraus folgt dann, dass Pi eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung hat).
Wenn man möglichst viele Stellen kennt?
Nein. Aus endlich vielen Stellen kann kein Schluß auf die Rationalität oder Irrationalität einer Zahl gezogen werden. Der Schluß ist genau umgekehrt. Erst beweist man, dass eine Zahl (wie etwa Pi) irrational ist, und daraus folgt dann, dass sie eine unendliche nichtperiodische Dezimaldastellung hat; entsprechend, wenn eine Zahl rational ist.
Merkt euch doch nicht immer diese Geschichte mit den Nachkommastellen als "Definition". Das ist nicht die Definition. Die steht oben, rational = darstellbar als Bruch, irrational = nicht darstellbar als Bruch.
Mathematiker sollen es neuerdings angeblich für möglich halten, daß Pi rational sei.
Nein, natürlich nicht.
Wer weiß Näheres?
Ich zB. Die Aussage ist falsch, und du hast den Artikel nicht gelesen, auf den du verlinkst.
Unter http://pi.gerdlamprecht.de/
ist alles zusammengefasst. Über die bereits bewiesene Irrationalität brauchen wir hier auch nicht streiten.
Unter Kreiszahl gibt es sehr viele Algorithmen zur Berechnung von Pi, die alle eine Gemeinsamkeit haben: sie enden nicht, d.h. der Berechner muss selbst festlegen, wann er bei wieviel Nachkommastellen abbrechen will!
Pi selbst ist bezogen auf Muster relativ uninteressant: 12 stellige Ziffernfolgen (z.B. 666666666666) liegen fast alle oberhalb 1 Bio (1e12). Die Ziffernfolge 352399548071634 ist NICHT in den bekannten 5 Bio (5e12) Nachkommastellen von Pi.
Unter "Fast ganzzahlig, Muster in Nachkommastellen – Almost Integer" habe ich interessantere Muster in Nachkommastellen gesammelt.
Interessant: Nicht alle Algorithmen sind exakt bewiesen. Es gibt eine andere Zahl, die mit über 18000 Stellen mit Pi übereinstimmt. Deshalb ist bei extremen Berechnungen immer eine Validierung nötig:
man vergleicht mit anderen Algorithmen (z.B. kann man bei Pi auch einzelne Nachkommastellen berechnen) ob die Stellen (z.B. jede Mio-ste) noch übereinstimmen.
Der zitierte Zeitungsartikel, den ich allerdings nur kurz überflogen habe, handelt von zwei Wissenschaftlern, die versuchen, die "Normalität" der irrationalen Zahl Pi zu beweisen oder zu widerlegen.
Es wird jedoch in keinster Weise bezweifelt, dass Pi irrational ist. Das steht ja auch in dem Artikel. Zitat:
.
Daß Pi irrational ist, wissen die Mathematiker schon seit mehr als zweihundert Jahren.
.
"Normalität" ist offenbar eine Eigenschaft bestimmter irrationaler Zahlen. Wie diese "Normalität" definiert ist, geht aus dem Artikel hervor.
Aus der Definition geht auch hervor, dass alle "normalen" Zahlen irrational sind, denn nur für irrationale Zahlen ist diese "Normalität" überhaupt definiert.
Hi, schon, aber: lgO
http://www.faz.net/s/Rub7F4BEE0E0C39429A8565089709B70C44/Doc~E233EB2FA7BF04215B32C888751F19822~ATpl~Ecommon~Scontent.html