Rationale und irrationale Zahlen unterschied?
wie kann ich die unterscheiden ? Von wo weiß ich was irrational und was rational ist ?
7 Antworten
Rational ist einfach:
- alles was sich als Bruch ganzer Zahlen a/b schreiben lässt
- alles was sich entweder als abbrechende Dezimalzahl (z.B. 1,45) oder als Periode (z.B. 0,(3)) schreiben lässt
Diese beiden Forderungen sind äquivalent, d.h. wenn eine von beiden erfüllt ist, ist auch die andere erfüllt.
Irrational ist schwieriger nachzuweisen, denn du müsstest bei einer gegebenen Zahl beweisen, dass sie die o.g. Bedingungen nicht erfüllt. Das Ausrechnen einiger konkreter Stellen reicht dazu nicht, denn auch wenn eine Dezimalzahl z.B. mit 3,146342245213423232465634322 losgeht, könnte es ja immer noch einige Stellen weiter hinten passieren, dass sie auf einmal enden würde oder mit einer Periode weitergeht.
Einige Zahlen, von denen man weiß, dass sie irrational sind:
- Alle Wurzeln ganzer Zahlen, sofern sie nicht selbst ganze Zahlen sind
- Alle Produkte, Quotienten, Summen oder Differenzen aus einer rationalen und einer irrationalen Zahl
- Die Kreiszahl pi und die Eulersche Zahl e
Mit diesen Regeln kannst du häufig bei einer gegebenen Zahl herleiten, dass sie irrational ist.
Pi und e sind sogar "noch irrationaler":
Es sind transzendente Zahlen! Die Bezeichnung gefällt mir sehr.
Dafür kommt jede Telefonnummer irgendwo darin vor...
Rationale Zahlen kann man als Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner darstellen; irrationale Zahlen nicht.
Irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen.
Rationale Zahlen haben entweder gar keine Nachkommastellen, oder wenn doch, dann eine begrenzte Anzahl Nachkommastellen, oder die Nachkommastellen werden irgendwann periodisch.
Irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen
Deren Ziffernfolge nie periodisch wird
Rationale Zahlen lassen sich als Bruch ganzer Zahlen darstellen. Irrationale Zahlen nicht.
Rationale Zahlen haben eine endliche Anzahl von Nachkommastellen oder die Ziffernfolge wird irgendwann periodisch.
- Wenn du einfach so eine Zahl bekommst, siehst du das ihr nicht unbedingt an
- Aber ein endlicher Dezimalbruch ist immer rational, z.B. 4,6290046832 ; denn er kann als gemeiner Bruch (a/b) dargestellt werden
- auch ein unendlicher Bruch kann rational sein, wenn er periodisch ist (sich also wiederholt): 0,142847142847142847... ist rational, denn das ist 1/7.
- unendliche Brüche, die nicht periodisch sind, sind irrational. Z.B. Wurzel(2)
Rationale Zahlen:
rationale Zahlen (enthalten alle Zahlen, die als
Bruch dargestellt werden können > ganze Zahlen;
endliche Dezimalzahlen; unendliche, periodische
Dezimalzahlen)
Irrationale Zahlen:
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen. Hierzu gehören z.B. die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind. Auch die Kreiszahl π=3.14159… ist eine irrationale Zahl - sie ist keine periodische Dezimalzahl.