Man sieht sofort, dass hier nur Quadratzahlen vorkommen.

Jedoch nicht jeder Index n (da fehlen welche), sondern nur die mit n^2 =n²

(also die Argumente, wo die Quadratzahl auftaucht sind wieder Quadratzahlen)

Und nun ersetzen wir das "innere Argument n" durch n²: (n²)^2=n^4.

Für Schüler reicht dem Lehrer (also dem Aufgabensteller) dieses Bildungsgesetz:

f(n)=n^4

Zugabe nur für Interessierte, die nicht für den Lehrer lernen:

Für Mathematiker, die mehr Algorithmen kennen oder höhere Funktionen, gilt:

jede endliche Folge kann durch unendlich viele Bildungsgesetze nachgebildet werden.

Beispiel 2: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html einfach die Glieder kommagetrennt eingeben ergibt:

1+x*10-pow(x,2)*5+pow(x,3)*10 = x*(x*(10*x-5)+10)+1

also die Folge 1, 16, 81, 256, 601, 1176,...

die ab dem 5. Glied anders verläuft

Ich könnte jede Stunde einen weiteren Algorithmus ...

Mir geht's also genau anders herum: ich sehe oft zu viele Möglichkeiten und frage mich immer, wie der Aufgabensteller darauf kommt, dass er "nur seinen eigenen" als den richtigen ansieht, wo er doch keine Randbedingungen (Einschränkungen) angegeben hat.

Viele denken bei Pi immer nur an den Kreis!

ABER das Besondere: egal welche Wissenschaft, egal welches Teilgebiet -> wenn man lange genug nach Zusammenhängen sucht (keine Wort-Laberei, sondern echte Gesetze, die sich in Formeln wandeln lassen), landet man fast immer bei Pi!

Unter https://www.lamprechts.de/gerd/Kreiszahl.htm

habe ich mal über 100 Algorithmen gesammelt, die alle als Ergebnis Pi haben.

Gemeinsamkeit: alle haben keine Abbruchbedingung, d.h. sie enden nie -> es kommen immer neue Nachkommastellen "hinten dran".

Beispiele:

1) sehr viele Flächen berechnet man universell mit Integralen -> bei der Integration vieler Funktionen kommen asin- oder acos- oder atan-Funktionen heraus, dessen Funktionsergebnis Vielfache von Pi sind

2) sehr viele konvergierende Summen haben einen Grenzwert-Vielfachen von Pi

2g) sehr viele Kettenbrüche...

3) sehr viele Produkte... -> darunter auch welche mit Primzahlen! d.h. man kann auch aus Primzahlen Pi berechnen!

4) Iterationen..

5) Berechnung/Beziehungen zu anderen höheren Funktionen

6) Grenzwerte von Funktion1/Funktion2 -> man kann damit Brüche bilden, die sich Pi immer weiter annähern, aber Pi erst im UNENDLICHEN (also nie) erreichen

... zig Zahlenfolgen im Zusammenhang mit Pi {Fibonacci-Zahlen ...}

Viele danken auch, dass die Nachkommastellen völlig zufällig sind -> Nein! Man kann etwa grob vorhersagen, bis zu welcher Nachkommastelle zu 100% alle n-stelligen "Muster" enthalten sind. Alle Algorithmen achten also z.B. streng darauf, dass bis zur Position 1816743912 alle 8stelligen "Muster" (also z.B. Geburtsdaten) zu 100% enthalten sind! Das könnte kein Zufallsgenerator!

Oder in der Mandelbrot-Menge (Fraktale)!

Bei Wechselstrom-Netzwerken...

Bei der Suche nach der https://de.wikipedia.org/wiki/Weltformel

ist Pi immer beteiligt, da diese Konstante überall auftaucht.

Für mich ist sie auch so interessant, weil dort schon 62 TB berechnet und online gestellt wurden. (wie bei keiner anderen) Mit BBP-Formeln lassen sich einzelne Hex-Stellen leicht zur Kontrolle nachrechnen.

Der größte "Ausreißer" ist 66666666666666666 siehe http://www.pi-e.de (da dieses "Muster" erst sehr viel später zu erwarten war)

Auch wenn die "Hilfreichste Antwort" bereits vergeben wurde, hier noch einige Fakten:

Vorsicht bei trigonometrischen Funktionen per GMP: oft wird nur bis 200000 Stellen richtig gerechnet -> deshalb ist Validierung mit anderen Algorithmen wichtig!

  Oft ist https://github.com/Mysticial/NumberFactory

 sehr viel schneller, weil FFT Multiplikation & Multithreading verwendet wird!

Wenn Du eine konkrete Formel hast, würde ich gern Geschwindigkeitsvergleiche (und letzte Stellen, weil meist falsch!) mit anderen Programmen machen, da es gerade bei Zahlen um 1 Mrd. Stellen große Unterschiede gibt: Bis Faktor weit über 50000

Für 3^x=pow(3,x) habe ich das mal verglichen: http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/Vergleich3HochX_Mio.png

Das für c# mitgelieferte BigInteger.Pow ist da über 52000 mal langsamer!

Dann wird auch gern bei der Zeitmessung geschummelt: intern kann man hexadezimal schneller rechnen. Die Wandlung der Hex-Zahl in eine dezimale kann sogar langsamer sein (wird gern der Speicherzeit mit untergeschoben), als die eigentliche Berechnung.

Grüße

Dein ^^ mag zwar in einigen wenigen Sprachen bekannt sein ( 3^^3 = 3^3^3 ).

Ich kenne aber kein "Rechner", der diese Tetration https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

mit Syntax x^^y berechnen kann. (Nur Funktionsnamen)

So wie x^n die n malige Multiplikation von x ist, so ist

Tetration(x,n) die n malige Potenzierung von x.

Tetration(2,4)= 2^2^2^2 = 65536

In Mathematica schreibt man das

Nest[Power[2, #]&, 1,4] -> der 2. Parameter muss also immer GANZZAHLIG sein!

(im Gegensatz zum Potenzieren, denn da hat man die e-Funktion mit Hilfe der Reihenentwicklung auch für reelle Zahlen)

Beachte: Potenztürme ohne klammern bedeuten von hinten beginnen:

2^2^2^2=2^(2^(2^2))

Unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

habe ich Tetration eingebaut:

Tetration (1.5,14) ergibt schon eine Zahl mit

264007110309346 Stellen!!!!

Potenzieren mit reellen Zahlen oder komplexen Zahlen mit:

x^y = Pow(x,y)= e^(ln(x)*y)= Exp[Log[x]*y]

Tetration(e,5)=10^(1.0125594950 e1656520)=10^(1.012559495*10^1656520)

Zahl mit 10^1656520 Stellen!!!

komplex:

Tetration[2.5+3.5i,4]=0.343785+0.0800288 i

Es gibt tatsächlich Näherungsformeln für reelle Zahlen des 2. Parameters, aber ohne Praxisbezug: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Higher_order_approximations_for_real_heights

Wenn Dich einzelne Funktionwerte oder Kurvenverläufe interessieren, frage nach.

Ich berechne gerade Tetration(e,e)...

Diese Frage beantwortet folgende Seite:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

also die Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden.

Dein xxx 321|123 xxx ist eine 12stellige Zahl und

A036903(12) liegt etwa bei 27500000000000 also 27,5 TB und ich habe über 31 TB

-> sollte also garantiert zu finden sein.

Es funktioniert immer nur mit Teil-Symmetrien!

Beispiel:

123321123321 an pos 125308006171

1 Nachkommastelle davor (also 14 Stellig) schon nicht mehr symmetrisch:

Pos=125308006170 NK=6123321123321220...

Oder Pos=72913995617, NK=877605039398765445678915799792606289... mit Teilsymmetrie 987654456789

Die Zahlenfolge A036903 geht gegen unendlich, genau wie die Anzahl der Nachkommastellen unendlich ist. UNENDLICH bedeutet "ohne Ende" -> eine Suche wie Deine nach "Endpunkten" gibt es also nicht, weil sie NIE endet!

Ich hatte die Frage zwar schon mehrfach beantwortet

( https://www.gutefrage.net/frage/formel-zur-berechnung-von-primzahlen#answer-70523627 mehr: http://www.gerdlamprecht.de/Primzahlen.htm )

aber die Frage kommt immer wieder und die meisten verstehen sie auch nicht. Ich kann gern kleine Werte mal vorrechnen. Für große Argumente ist sie ungeeignet, weil der Berechnungsaufwand exponentiell ansteigt. Da nimmt man lieber NextPrime-Algorithmen.

Prime(1)=2

Prime(2)=3

Prime(3)=5)

... Prime(1000)=7919...

https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php kann auch

Prime(1000000000000000000000000)=58310039994836584070534263

Wenn man wie ich, wirkliche mathematische Brocken berechnen will wie

25000000000 Nachkommastellen von Pi..

über 1 Mio. 2000stellige Primzahlen suchen...

dann sind 100 % CPU-Last normal und sollten einen richtig konfigurierten PC nichts ausmachen.

ABER meist wollen viele Programmieranfänger nur sehr wenig berechnen und haben wichtige Regeln nicht beachtet.

Beispiel 1: regelmäßig etwas abfragen

for i=1 to ... (oder while...)

if(hier das, was ich wissen will) then ...

Next

Erzeugt auf 1 Kern 100 % CPU Auslastung. Bei einer 1 Kern CPU ohne Hyperthr. macht das 100% CPU-Gesamtlast. Auf einer CPU mit 20 virtuellen Kernen macht das 5 % Gesamtlast.

Schon die kleine Erweiterung

for i=1 to ...

if(hier das, was ich wissen will) then ...

sleep(10);

Next

Kann die Gesamtlast auf 1 % oder weniger senken (wenn das "innere von IF schnell funktioniert), da dieser 1 Thread pro Zyklus 10 ms performance-los wartet (was man als Anwender nicht mitbekommt, da die Reaktionszeit des Menschen fast 10 mal länger ist).

Wenn aber das "Innere von IF" eine Funktion ist, die auch wieder schlecht programmiert ist (z.B. auch wieder eine Schleife ist, die über 100 ms mit 100% arbeitet), bringt die 10 ms Pause kein Effekt!

Noch "sauberer" wäre es, wenn man statt des Wartens keine For-Schleife, sondern "Events" (Ereignisse) verwendet. (was aber nicht immer machbar ist)

Wenn Du uns berichtest, wozu Du 1,5 h rechnest, kann ich genauer helfen.

Beispiel: wenn man mit .NET große Potenzen berechnet (x^y mit 1 Mrd. Stellen) dauert das wirklich Stunden. Selbe Berechnung dauert mit der gut optimierten c-Bibliothek nur wenige Sekunden!

Es fehlen 2 wichtige Randbedingungen in der Frage:

1) welche Größe & "Faktorisierbarkeit" hat die gegebene Zahl:

a) kleiner als 100 Stellen oder leicht faktorisierbar

b) größer als 200 Stellen oder schwer faktorisierbar

2) welche Funktion kann als "bekannt" angesehen werden

a) Grundrechenarten

b) Primfaktorzerlegung

c) Divisors[x]

Für 1) a) und 2) b) hat mihisu bereits gut geantwortet.

Für 1) b) gibt es RSA-Zahlen ab etwa 250 Stellen, die selbst mit 100 Computern bis zum heutigen Tage nicht in ihre Primfaktoren zerlegt werden konnten.

Dann gibt es leicht faktorisierbare Zahlen mit 1 Mio. Stellen, die sehr leicht zerlegbar sind... (z.B. die Form 2^n )

zu 2) c)

Relativ kleine Zahlen (kleiner 50 Stellen oder leicht faktorisierbar) können mit der Funktion Divisors[x] berechnet werden:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Divisors%5B924%5D

ergibt

1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924 (24 divisors)

§1: sin(x) ist eine mathematische Funktion mit dem Argument (Input) x und der Periodendauer von 2Pi (danach wiederholt sich alles).

§2: die Funktionsergebnisse (Output) liegen alle im Bereich von -1...+1

§3: cos und tan haben sich die Menschen nur aus "Schreibfaulheit" zur Abkürzung ausgedacht. cos(x) ist einfach nur um Pi/2 verschoben-> kann also aus sin berechnet werden :

cos(x)=sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)=... mehr unter

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Da sich die exakten Funktionsergebnisse relativ schwer berechnen lassen (unendliche Summen!; Taschenrechner verwendet nur Näherungsfunktionen und ist oft nicht mal 6 Nachkommastellen genau), haben sich die Menschen Wertetabellen erstellt.

Mit Hilfe von mathematischen Gesetzen, können einige Spezialwerte auch mit Hilfe der Wurzelfunktion Wurzel(x)=sqrt(x) berechnet werden:

sin( 0.7853981633974483...)=0.707106781186547...

hinter den 3 Punkten kommen aber noch unendlich viele Nachkommastellen, und deshalb kürzen die Menschen mit Symbolen ab:

sin(Pi/4) = sqrt(2)/2=1/sqrt(2)=Wurzel(2)/2

Aus geschichtlichen Gründen kannte man damals die Konstante Pi noch nicht so exakt und verwendete statt für den Vollkreis (2 Pi) die veraltete Einheit 360°.

Um diesen Umrechnungsfaktor 360/(2Pi)= 180/Pi = 57,29577951308232...

ist die veraltete Einheit ° (Grad) größer als die internationale SI Einheit des Winkels (rad). Einige Taschenrechner haben einen Einheiten-Umrechner-Modus eingebaut, der die Eingaben mit dem Faktor multipliziert (bevor der Funktionswert berechnet wird). Steht dieser auf Grad, rechnet er intern also:

sin( x° * Pi/180°)

Beispiel: Eingabe 30 im Modus Grad

sin(30° * Pi/180°)= sin(Pi/6)= sin(0.523598775598...)=0.5 = 1/2

Dann gibt es noch andere Einheiten, die nur noch mehr verwirren.

Ich lasse immer auf Modus SI-Einheiten stehen (beim Winkel ist es rad) und rechne selbst fremde Einheiten in SI-Einheiten um -> so kommt man nie durcheinander. Alle physikalischen Gesetze funktionieren mit SI-Einheiten!

Man kann die Wurzelschreibweise auch übertreiben, und dann ist die Berechnung per Wurzel komplizierter als die per sin:

sin(Pi/240) = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))(sqrt((5+sqrt(5))/128)-sqrt(3)(sqrt(5)-1)/16)-sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))((sqrt(5)-1)/16+sqrt(3/128(5+sqrt(5))))

= 0.01308959557134444019...

Noch was zur Frage, "..warum mit Pi zu tun..." -> lese

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

also weil der Umfang U eines Kreises mit dem Radius r=1 genau 2 Pi beträgt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Umfang

Die Winkeleinheit ist also die stufenlose Beschreibung, wie lang die betrachtete Kreislinie beim Kreis mit Radius 1 ist:

Vollkreis (360°): 2*Pi = 6.283185307179586476925...

Halbkreis: Pi = 3.14...

Guter Hinweis auf https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn

Genau dieses Beispiel veranschaulicht sehr gut den Unterschied des Aufsummierens von Teilobjekten:

a) praktisches Leben/Physik: Aufsummieren bedeutet, dass man die Teil-Objekte (meist Teilflächen) zusammenzählt, also addiert. (Diskrete Addition)

b) theoretische Mathematik: hier wird stufenlos aufsummiert, Mathematiker reden von https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung und verwenden dabei das Integralzeichen ∫ .

Je kleiner die Teilobjekte (Dimensionen) werden, um so näher kommen sich die Ergebnisse von a) und b) . Man sagt: mit immer kleineren Teilsummen konvergiert die Gesamtsumme a) dem Integral b) und bei UNENDLICH kleinen Teilobjekten (z.B. Teilflächen), stimmen beide überein.

Integration von 2 Längen-Dimensionen ergibt eine Fläche.

3 Längendimensionen -> ergeben Volumen http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html usw.

Nun gibt es viele Gesetze, wie z.B. die, dass bei Konstantheit einer Funktion/Dimension diese vor ein Integral geschrieben werden kann.

Beim Rechteck ist dies der Fall -> und so wird eine Fläche, die über die eine Länge a und die andere Länge b (2. Dimension genau im rechten Winkel) integriert wird, zur ganz einfachen Rechnung: A = Integral (...) = a * b.

Bei Gabriels Horn jedoch, endet die theoretische Mathematik nicht (wie die reale Physik) bei Atomgröße, sonder wird bis in alle Ewigkeit nach der nichtlinearen Funktion 1/x² weiter integriert. Und man entfernt sich dadurch immer weiter von der Wirklichkeit, was sich als Paradoxon ausdrückt (endlich großes Volumen mit einer unendlich großen Oberfläche!).

Jedes Paradoxon ist immer ein Zeichen dafür, dass bei der Theorie ein oder mehrere Randbedingungen weggelassen wurden, die aber bei der realen Physik absolut wichtig sind.

Hier sind es:

1. die Unendlichkeit, die es nicht gibt
2. die kürzeste Wegstrecke, die nicht unendlich kein sein kann, sondern nur https://de.wikipedia.org/wiki/Planck-Einheiten

Warum denken viele Frauen immer, dass die "primitiven Männer" nicht erkennen, ob eine Frau sportlich ist, und dass man mit äußerlichen Sachen was versteckten kann oder allein nur durch die Sachen "prüde" ist...?

Oft ist es genau anders herum, denn die besten Schwimmerinnen tragen zum Schnellschwimmen Badeanzüge (Bikini würde beim Start oder bei Hochgeschwindigkeitsrutsche verrutschen).

Meist wird aber der Bikini getragen, weil man darin besser braun wird.

Warum nur immer dieses ENTWEDER ODER? Es gibt nicht nur schwarz & weiß, sondern die Welt hat auch bunt & grau. Alles hat seine Vor- & Nachteile. Man kann doch beides tragen. Ich kenne auch viele, die ziehen sich zum Schwimmen den Badeanzug an und zum Sonnen den Bikini.

Noch was zu "...ich habe eine schlanke sportliche Figur": Männer erkennen schon an der Bewegung, ob eine Frau wirklich sportlich ist. Ich bin auch der gleichen Meinung wie NoKnower123: "ich zu einer Frau niemals "nein" sagen, nur weil sie jetzt einen Badeanzug anhat"! Ich gehe noch weiter: Da kann eine "dürre mit sexy Bikini" bewegungslos herumstehen, aber wenn eine schlanke mit sportlichen Bewegungen kommt (egal ob Schwimmen oder Tanzen) macht mich das mehr an.

Das kostenlose Open Office\Writer kann das.

Übrigens ist PDF eigentlich für Vektor-Grafik spezialisiert, also stufenlos. Erst bei den Druckereinstellungen gibt man an, mit wie viel DPI gedruckt werden soll.

Bei Bildern (eingebundene Pixel Grafiken, was PDF natürlich auch beinhalten kann), spielen die DPI natürlich eine Rolle.

Beides hat seine Vor- & Nachteile.

Es gibt auch einen Schalter, wo man alle Vektor- & Pixelgrafiken in ein Gesamt-Pixelbildformat (TIF mit DPI-Angabe) wandeln & als PDF speichern kann. Alle Vorteile der Vektorgrafik gehen verloren & die PDF wird sehr groß. Bei exotischen Schriftarten ist man aber sicher, dass diese genau wie beim Original-Rechner dargestellt werden.

Dann muss man unterscheiden, ob man die DPI-Eigenschaft der Untergrafik oder (wenn alles als 1 TIF gespeichert werden soll) der Gesamtgrafik gemeint ist. Ein Unterbild kann natürlich als gespeichertes Unterbild nicht in eine höhere DPI-Zahl gewandelt werden. (Open Office nennt das "DPI-Auflösung der Grafik verringern")

Unter https://www.cpubenchmark.net/mid_range_cpus.html

gibt es 51 "Intel Pentium"!

Die meisten: nur 2 Kerne und extrem langsam! Nur der "Silver N5000" hat 4 virtuelle Kerne und ist minimal schneller (siehe DELL-Seite):

https://www.dell.com/de-de/shop/laptops-2-in-1-pcs/inspiron-17-3782-laptop/spd/inspiron-17-3782-laptop

Quad bedeutet nichts weiter als "4 Kerne". Der Hersteller wird vermutlich nichts weiter angeben, weil beide nicht viel taugen. Könnte z.B der Q9000 sein. Im Vergleich ist der N5000 minimal schneller:

https://cpu.userbenchmark.com/Compare/Intel-Core2-Quad-Q9000-vs-Intel-Pentium-Silver-N5000/m5898vsm499477

Vermutlich gibt es den alten Quad schon nicht mehr, da DELL aktuell nur noch den N5000 auf seinen Seiten anbietet. Die EAN des Quad deutet auf einen veralteten DELL hin, wie er bei ebay überteuert angeboten wurde.

Da läuft ja nicht mal Win10 flüssig, geschweige zusätzliche Programme...

Zum Lesen & Schreiben von Texten oder browsen im Internet gerade so geeignet.

Wenn Du es von der Seite

https://www.ebay.de/itm/DELL-INSPIRON-3782-128GB-SSD-1TB-HDD-8GB-RAM-CD-DVD-17-3-WXGA-MATT-/392303679445

hast, dann ist es die selbe CPU: mal wird von N5000 gesprochen, und der hat ja 4 virt. Kerne -> dann von "Quad".. -> selbe!!

Das Bild ist bereits digitalisiert, sonst könnten wir es nicht sehen.

Die Frage ist nun, mit welchem Algorithmus es verschlüsselt/komprimiert wurde:

a) Pixelbild: verlustlos {BMP, PNG,...} oder verlustbehaftet {JPG,...}

b) Vektorbild: Teil-Linien & primitive Objekte {SVG, dwg} oder komplexe mathematische Formeln ( http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm#ZZZZZ0118 )

Leider hast Du das verlustbehaftete JPG genommen, welches eher für Wolken als für Vektorgrafiken geeignet ist.

Was Du vermutlich meinst ist nicht das Digitalisieren, sondern das Vektorisieren von Pixelbildern.

Es gibt fertige Programme wie https://sourceforge.net/projects/bmp2svg/

wo man ein gut vorbereitetes Pixelbild (verlustloses BMP mit nur 2 Farben) als Input vorgibt und ein Vektorbild im SVG-Format herausbekommt.

Deine Breiten Striche sind teils heller als die Ecke unten links (ungeeignet! Du brauchst mehr Helligkeit)! Ich habe mal einiges an Kontrast angehoben, damit Du siehst, wie so ein vorbereitetes Bild etwa aussieht, bevor man es Vektorisieren kann. (ob Du die Hilfslinien Deines Blattes noch löschen willst, musst Du selbst entscheiden)

Kraual = Freistil

ist die effektivste aller Schwimmarten (wenn man die Technik beherrscht), weil man bei gleicher Leistung (Mensch hat 200...400 W ) am schnellsten vorankommt.

Nun kann man als normaler Mensch die Leistung steuern - man sagt auch "Kräfte einteilen". Wenn ich Sprint schwimme und meine Bestzeit erreichen will, bin ich auch schon nach 25 m fertig.

Wenn ich über einen See schwimmen will, teile ich mir die Kräfte ein und versuche lang & sauber zu schwimmen wie hier im Video:

https://www.youtube.com/watch?v=9tm-2SZKiG0

(allerdings lässt dieser Schwimmer den Arm etwas zu lange vorn im Wasser, was auch wieder Kraft kostet)

Was viele Anfänger falsch machen: das Wasser wird zu stark verwirbelt & es bilden sich zu viele Blasen -> siehe Video 2:

https://www.youtube.com/watch?v=cxuGzJkex9g

Schwimmen kann man nicht mit Worten erklären, man muss es fühlen und viel trainieren!

Was auch nicht stimmt: viele sagen, dass man mit Trainieren beliebig viel Ausdauer bekommen kann. Stimmt nicht, denn es gibt 2 Typen von Mensch: Sprinter & Ausdauerschwimmer. So muss jeder für sich herausfinden, welcher Typ er ist.

Ich trainiere schon zig Jahre und bleibe immer ein Sprinter.

Es ist nun über 10 Jahre her... Für alle, die immer noch denken, dass es keine Funktion zur Berechnung der x. Primzahl gibt, sollten mal unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

nach der Funktion Prime(x) {Funktion für x. Primzahl} suchen.

Dieser Algorithmus ist zwar mit ansteigenden Werten exponentiell langsam, aber es ist eine gültige Formel mit mathematischen Symbolen. An ihr sieht man auch, warum 2 der erste Funktionswert ist.

Ausgehend von Prime(1000000000000000000000000)=58310039994836584070534263

habe ich auch mal Prime(1000000000000000010000000) berechnet http://www.pi-e.de/NextPrime-Benchmark.htm

Andere Herangehensweise ist das Herauspicken einer ungeraden Zahl (außer 2 natürlich) und diese auf IsPrime(x) zu untersuchen. Für 99,999% aller Fälle reicht die Untersuchung (ggT(x,102481630431415235)<2)&&(PowMod(2,x-1,x)==1),

denn nur sehr wenige Sonderfälle sind dann doch nicht zu 100% prime:

http://www.pi-e.de/Miller-Rabin-Pseudoprimzahlen.htm

Integrieren kommt von "Aufsummieren". Nur dass nicht in Stufen "zusammenaddiert" wird, sondern stufenlos.

Wichtig ist noch, dass es sich um mindestens 2 Dimensionen handelt.

Die meisten denken nur an Flächen (also x- & y- Wegdimensionen),

ABER dies gilt für alle Wissenschaftsgebiete!

a) Batteriekapazität wird in Ah gemessen, da die Dimension Strom I (in A) über die Zeit (t in SI-Einheit s oder bei großen Batterien/Akkus in h) aufsummiert wird:

Kapazität = Integral I dt von t=t1 bis t2 (also der betrachtete Zeitbereich)

Nur wenn I konst. ist, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und I*t rechnen.

b) Stromverbrauch: Energie [Ws] = Integral Leistung [W] über Zeit [t]

Nur wenn der Verbrauch konst. über die Zeit ist, darf man einfach multiplizieren:

1 Stunde lang konst. 1 kW -> 1kW * 1 h = 1 kWh Verbrauch

c) Volumen: Integral 2D-Fläche über die 3. Raumdimension Höhe

wobei die Fläche ja auch ein Integral ist und genau genommen über alle 3 Raumdimensionen x,y,z integriert wird: siehe

http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html

d) http://www.gerdlamprecht.de/GeometrischerSchwerpunkt.htm

Auch Geometrischer Schwerpunkt (Flächenmittelpunkt) beliebiger Körper lassen sich mit Integralrechnung

berechnen.

Wenn man keine Funktion für eine Fläche hat (Ländergrenzen) kann man auch numerisch integrieren:

Man addiert die Pixel eines Bildes und bekommt so die Fläche.

Für beide Dimensionen x und y kann man dann die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen, wenn der Körper homogen ist.

Ist ein Körper nicht homogen (unterschiedliche Materialien, unterschiedliche Dicke)

muss auch die Dichte des Körpers mit als Funktion in das Integral mit hinein!

e) https://de.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)#L%C3%A4ngen_von_Kurven

Also Aufsummierung vieler kleiner Teilstrecken.

f) https://de.wikipedia.org/wiki/Effektivwert

Erst über beide Dimensionen aufsummieren und dann durch 1 Dimension teilen -> dann hat man den Durchschnitt.

usw.

Dein "Schlüsselwort Extremstelle" ist genau das Gegenteil: da wird der Anstieg der zu untersuchenden Kurve gesucht.

Stell Dir vor, Du gehst mit einer sehr langen Stange mit der Spitze voran über einen Berg, der den Funktionsverlauf f(x) hat. Um die Extremstelle "höchste Spitze des Berges" zu finden, muss also der Anstieg (mathematisch Ableitung) zu 0 werden (die Stange ist dann waagerecht). Du suchst also die Koordinate x, wo

f'(x)=0

das f' bedeutet d f(x)/dx also Ableitung der Funktion auch "Gegenteil der Integration", also der Punkt, wo es weder bergauf noch bergab geht.

ist ein kleiner Potenzturm. https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

(2 Pfeile; der natürlich schon zig mal größer als die Anzahl aller Atome im Weltall ist)

Erst wenn Potenztürme nicht mehr darstellbar sind (weil es im Weltall nicht genug Atome zum Aufmalen der Potenz-Formel gibt), geht man bei den Hyper-Operator

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyper-Operator

auch https://de.wikipedia.org/wiki/Pfeilschreibweise

eine Dimension höher (3 Pfeile), was schon 95% der Menschen nicht verstehen, da es hierfür keinen Größenvergleich mehr gibt! (selbst das kleinste Elementarteilchen mit zig Multi-Universen verglichen ist winzig dagegen)

Aber auch diese Hyper- oder Pfeilschreibweise, die schon n-Dimensionen (n-Pfeile) höher gehen kann, reicht nicht aus -> was sich nochmals 98% nicht vorstellen können!

Um noch höher zu kommen hat man sich eine rekursive Funktion ausgedacht, die diese Hyperoperatoren Hyper-oft selbst aufruft.

Absolut unvorstellbar für jeden Menschen auf der Welt!

Und wenn man diese Hyper-Rekursion 64 mal durchlaufen hat, ist man erst bei Grahams Zahl!

Also eine rein theoretische Zahl, die 3 mal neue theoretische Funktionen benötigt, nur um sie halbwegs zu beschreiben! Sie ist so extrem größer, dass sie mit nichts vergleichbar ist!!!

Für wissenschaftlich interessierte Leser:

die mathematische Konstante A000796 (von den meisten Menschen als "Pi" benannt)

taucht in über 100 Algorithmen aller Wissenschaftsgebiete auf:

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

Wer wissenschaftlich arbeitet (ob nun mit Primzahlen, mit Fibonacci-Zahlen, mit Fraktalen, hypergeometrische Funktionen, Integrale, Iterationen ... usw.) trifft ständig auf Pi, da sie ein Teil der Weltformel ist. Sie nur auf den Kreis zu beschränken entspricht dem Wissen der Menschheit vor fast 1000 Jahren. Viele Wissenschaftler haben fleißig über 1000 Jahre so viele neue Fakten & Zusammenhänge zu dieser irrationalen & transzendenten Zahl gesammelt...