Warum sind Grenzwerte von Folgen und Reihen so wichtig?
Was ist der Grund dafür dass Grenzwertbetrachtungen von Reihen wichtig sind? Also ich sage damit nicht,dass ich nicht der Meinung bin, ich möchte nur Argumente dafür hören :)
2 Antworten
DerRoll hat ja schon in seiner Antwort vieles aufgezählt.
Weitere Sachen wären:
Damit können z.B. algebraische Herleitungen vollbracht werden von bestimmten Zahlenmengen, welche z.B. in der Differential- und Integralrechnung viel Anwendung finden, aber auch in der Zahlentheorie bei z.B. der Untersuchung aus hohe Teilbarkeit,
was ich persönlich ziemlich cool finde.
Darin sehe ich jedoch persönlich nicht den größten Nutzen. Natürlich ist das bisherige Aufgezählte unfassbar wichtig, aber etwas noch besseres interessanteres ist für mich:
Wir können jede Zahl, jede Funktion, alle Gleichungen / Ungleichungen / ..., als einzelne Grenzwerte von Reihen darstellen. Das ermöglicht uns z.B. schnell auf den ersten Blick unfassbar komplizierte Gleichungen zu lösen, für die man mit bisherigen Rechenmethoden selbst numerisch kaum eine Chance hatte (nicht immer in einer geschlossenen Form).
Man kann ohne Probleme Relationen zwischen x-belibigen Funktionen finden, die augenscheinlich nichts miteinander zu tun haben.
Man kann damit in Hand um drehen für viele Funktionen und Operationen eine Erweiterung auf andere Zahlenbereiche finden (die bekanntesten Beispiele wären wohl die Eulersche Formel mit den komplexen Zahlen, welche eine extreme Wichtigkeit besitzt, oder die automatische Differenzierung bei den dualen zahlen, die Verallgemeinerung der Fakultät zur Gammafunktion mit den komplexen Zahlen, ...). Und das ist nur der Anfang. Wie ich finde bzw. es beschreiben würde: Ein schier unendlicher Nutzen.
Ich kann nicht in Worte fassen, wie unendlich wichtig das für die Mathematik ist. Da haben wir noch nicht einmal begonnen wie nützlich das in den Naturwissenschaften ist.
Wenn du dir mal einen minimalen Eindruck von der Macht davon verschaffen willst, klicke dich einfach mal ein bisschen hier rum: https://functions.wolfram.com/
Gute Zusammenfassung. Dann will ich noch was aus meiner Sicht ergänzen. Die Beschäftigung mit Folgen und Reihen ist ein perfekter Einstieg für den Schritt von der anschauungsorientierten Schulmathematik zur formalisierten Sprache der Hochschulmathematik. Sich nicht mehr an Funktionsgraphen orientieren, an denen man ja "sieht" das etwas "im Unendlichen verschwindet" oder "sich an Null annähert"; sondern strikt dem Schema "Definition - Satz - Beweis" folgen, wobei beim Beweis nur Dinge aus der Definition und aus vorher bewiesenen Sätzen verwendet werden dürfen, kann mit HIlfe der Definitionen von Folgen, Reihen und deren Grenzwerten einfach und elegant gelehrt werden. Die 200 Jahre Ringen um das Unendliche, von Newton und Leibnitz über Gauss und Euler bis zu Weierstraß und Cantor, können so auf 4-6 Wochen zusammen gepresst werden. Wer die Konvergenzbeweise für Folgen und Reihen verstanden hat, wird nicht mehr einfach wie z.B. noch Euler völlig unbefangen divergente Reihen verwenden um ihm oder ihr genehme Ergebnisse zu erhalten.
Das Grenzverhalten von Folgen und Reihen führt zum Grenzverhalten von Funktionen. Das Grenzverhalten von Funtionen insbesondere im lokalen (Stetigkeit und Ableitung), in Intervallen (Integral) und global ist der Dreh- und Angelpunkt der Analysis und ihrer Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik.