Folgen und Reihen (Mathe)?
Ich komme bei einer Aufgabe nicht voran:
12:
a. Die Folge (an)n ∈N mit an = 5n +5 ist monoton wachsend.
b. Die Folge (an)n∈N an = (−1)^n/n ist beschränkt.
c. Die rekursiv definierte Folge (an)n∈N mit a1=4 und an+1 =3an +4 ist nicht monoton.
d. Die Folge (an)n∈N an = (−1)^n*n ist nach oben beschränkt.
e. Jede monoton wachsende Folge ist nach unten beschränkt.
f. Die rekursiv definierte Folge (an)n∈N mit a1=1 an+1=-3an-3 ist monoton
Meine Auswahl:
Für mich sind nur die a und die f richtig. Aber das ist anscheinend falsch. Was ist noch richtig bzw. falsch?
3 Antworten
Für mich sind nur die a und die f richtig.
Das ist Mathe. Da geht es nicht darum etwas zu raten. Du kannst bei jeder dieser Aussagen beweisen bzw wiederlegen, dass die Aussage stimmt/nicht stimmt.
Versuche für jede Aussage eine begründung zu finden, wieso es stimmen muss/nicht stimmen kann. Nutze dabei die Definitionen der genannten Eigenschaften.
Kannst du genauer erläutern, was du mit
passen aber komischerweise nicht zu den Eigenschaften
Meinst?
Eine Folge erfüllt entweder eine Eigenschaft, oder sie erfüllt die Eigenschaft nicht. Und die Folgen hier sind simpel genug, um per Hand zu zeigen, was davon der Fall ist.
Was soll das bedeuten?
Für jede Folge kannst du prüfen, ob sie beschränkt oder monoton ist. Für jede. Was soll denn nicht passen heißen?
Schreib die Definition auf. Was heißt beschränkt? Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Was heißt nach oben beschränkt? Es gibt eine obere Schranke, d. h. einen Wert, der größer oder gleich ist als alle Folgenglieder. Gibt es so einen Wert für die Folge an = (−1)^n/n ? Was heißt nach unten beschränkt? Es gibt eine untere Schranke, d. h. einen Wert, der kleiner oder gleich ist alle Folgenglieder. Gibt es so einen Wert für die Folge an = (−1)^n/n ?
Wenn du beide fett gedruckten Fragen mit ja beantworten kannst, dann ist die Folge beschränkt. Wenn du mindestens eine mit nein beantwortest, dann nicht.
Einzeln durchgehen, Definition des Begriffs aufschreiben, prüfen. So:
Eine Folge ist monoton wachsend, wenn jedes Folgenglied kleienr oder gleich dem nächsten Folgenglied ist. Dazu betrachtet man die Differenz zwischen a_n und a_n+1.
Eine Folge ist beschränkt, wenn es Grenzen a und b gibt, so dass alle Folgenglieder zwischen diesen beiden Grenzen liegen. Ist das für die gegebene Folge der Fall?
usw. usw.
Schreib einfach für jede Aufgabe hin, WARUM du meinst, was richtig oder falsch ist. Dann können wir darüber diskutieren.
Ich bedanke mich für die Hilfe aber ich kriege es einfach nicht auf die Reihe :(
Es wäre hilfreich, wenn du deine Ansätze zeigen würdest.
Die Folgen bei der a wachsen. Das habe ich durchs einsetzen festgestellt. Die b ist ja wenn ich richtig liege, nach unten beschränkt. Dann fallen b und d raus. Aussage c ist monoton wachsend weil beim Einsetzen die Folgen immer höher werden. Die Aussage e stimmt wahrscheinlich auch nicht (bin mir nicht sicher). Die F ist richtig weil die Folgen monoton fallen. Das habe ich durchs einsetzten festgestellt.
Kannst du noch mal sagen, wofür diese Aufgaben sind? Davon hängt ein bisschen die Tiefe ab.
Du hast also bei a einfach zwei Werte eingesetzt? ok, das reicht hier (weil linear), aber allgemein würde man einfach die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern bestimmen:
a_n+1 - a_n-1 = 5(n+1) +5 - (5n +5 ) = 5n + 5 + 5 - 5n - 5 = 5
Da 5 größer gleich 0 ist, die Folge monoton wachsend. Das ist also richtig.
Bei b - warum ist aus deiner Sicht die Folge nur nach unten beschränkt? Kannst du mal eine untere Schranke sagen?
(−1)^n/n ist immer größer als....
Die Folgen bei der a wachsen. Das habe ich durchs einsetzen festgestellt.
Nur so als Information: einfach zahlen einsetzen, und schauen ob es passt, ist kein Beweis. Höchstens nur, um zu zeigen dass es nicht passt. Du kannst die Definition von der Monotonie ganz leicht für alle n nachweisen.
Die b ist ja wenn ich richtig liege, nach unten beschränkt.
Das kannst du zeigen. Und warum ist die Funktion angeblich nicht nach oben beschränkt?
Aussage c ist monoton wachsend weil beim Einsetzen die Folgen immer höher werden.
Wieder: keine korrekte Begründung.
Die Aussage e stimmt wahrscheinlich auch nicht
Wahrscheinlich => du hast geraten.
Du sollst nicht raten, sondern mit den Definitionen arbeiten.
Das habe ich durchs einsetzten festgestellt.
Keine Begründung.
Kleines Beispiel, weswegen einsetzen keine Begründung ist:
Stell dir vor, du sollst schauen, ob für die Folge a_n:= 1/n-1/100 gilt, ob alle folgenglieder Positiv sind.
Wenn du die ersten 99 folgenglieder ausrechnest erhälst du immer etwas positives. Stimmt somit die Aussage? Offensichtlich nicht, da ab n=101 alle Folgenglieder negativ sind.
Die Aufgaben habe ich mir zum Üben aus einem alten Buch für die letzte Mathe Prüfung rausgesucht, die nächstes Jahr geschrieben wird(Abitur). Ich bedanke mich für deine Hilfe aber ich gebe die Hoffnung für diese Aufgabe auf :(
Nochmal: Wenn du hier deine Ansätze und Überlegungen rein stellst, dann bekommst du auch Hilfe. Warum also denkst du, dass a richtig ist? Warum denkst du, dass b falsch ist? Du hast dir doch Gedanken gemacht, warum teilst du die nicht mit uns, damit wir weiter mit dir arbeiten können? Alles andere nutzt dir genau NULL.
Dies habe ich bereits zuerst versucht. Die b-e passen aber komischerweise nicht zu den Eigenschaften. Ich habe mir auch zig Videos dazu angeschaut.