Ist es bei einem Sattelpunkt nur monoton steigend/fallend, oder streng monoton fallend/steigend?

Hey, was von den beiden Dingen stimmt?
Vielen Dank.

Answer 1

[TBDRM]

Streng monoton.

Begründung:

Weil f auf [a, x) sicher streng monoton ist - nach Annahme - ist f auf [a, x] sicher monoton. Es gilt also für klein genuge e > 0

f(x–e) < f(x–e/2) ≤ f(x)

und demnach

f(x–e) < f(x).

Das gilt für jedes e > 0. Also jedem Wert y = x–e, der im Intervall [a, x] liegt und ungleich x ist.

Demnach ist f auch auf ganz [a, x] streng monoton. So kann man dass dann auch für [x, b] begründen.

Insgesamt ist f also auf [a, b] streng monoton.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[J0T4T4]

wobei sich die Monotonie bei x ändert

Was möchte und das sagen? ^^'

[TBDRM]

@J0T4T4

Dass die Monotonie ändert?

[J0T4T4]

@TBDRM

In welcher Hinsicht?

[TBDRM]

@J0T4T4

Am Sattelpunkt kann sich die Monotonie ändern (z. B. von fallend zu steigen).

[J0T4T4]

@TBDRM

Aber ist ein Sattelpunkt, bei dem das passiert, nicht eigentlich ein Extrempunkt und kein Sattelpunkt?

[TBDRM]

@J0T4T4

Stimmt, stimmt. Habe gerade nur daran gedacht, dass f' und f" null sein müssen, aber das ist ja kein hinreichendes Kriterium für ein Wendepunkt. Hast recht.

[Arian88]

Es gibt doch trotzdem einen Punkt, welcher waagerecht, bzw. die Steigung Null besitzt. Ist dies dann nicht nur monoton steigend/fallend?

[TBDRM]

@Arian88

In diesem Punkt ist die Steigung null, ja.

Aber streng monoton bedeutet, dass wenn x < y, dann f(x) < f(y) bzw. f(x) > f(y).

Wenn die Steigung in einem Punkt null ist, muss es nicht heißen, dass oberes nicht gilt.

Wenn die Steigung jedoch ungleich null, dann ist die Funktion tatsächlich streng monoton.

In meiner Antwort habe ich begründet, dass die erste Aussage (strenge Monotonie) gilt.

[Arian88]

@TBDRM

Okay, also die komplette Funktion (mit einem Sattelpunkt ist streng monoton, da trotzdem x1<x2 und f(x1)<f(x2) bzw. f(x1)>f(x2) gilt (auch wenn die Funktion in einem Punkt waagerecht/Null ist)?

[TBDRM]

@Arian88

Genau.

Jede ganzrationale bzw. gebrochen rationale Funktion ist streng monoton.

[TBDRM]

@Arian88

Korrektur:

Jede ganzrationale Funktion, die nicht Grad 0 (also konstant) ist, ist streng monoton.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

sollte streng sein, denn auch in der Umgebung eines Sattelpunktes
folgt aus x1<x2, daß auch f(x1)<f(x2) bzw. aus x1<x2 folgt f(x1)>f(x2).

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Arian88]

Okay, dafür müsste ich den Sattelpunkt beispielsweise in zwei Intervalle unterteilen.
Bsp.:

Der Sattelpunkt liegt bei (0/0).
Nun unterteile ich dann die Intervalle von I1: -~;0 und I2: 0;+~.
Dann wäre es also streng monoton/ fallend, da beispielsweise gilt x1<x2 und f(x1)<f(x2)?

[Willy1729]

@Arian88

Richtig. Es gibt ja keine zwei unterschiedlichen Punkte mit dem gleichen Funktionswert. Das einzig Waagerechte beim Sattelpunkt ist die Tangente, die an dieser Stelle an den Graphen angelegt werden kann. Aber um die geht's ja hier nicht.

[Arian88]

Es gibt doch aber trotzdem einen Punkt, welcher waagerecht, bzw. die Steigung Null besitzt. Ist dies dann noch monoton steigend/fallend?

[Willy1729]

@Arian88

Auch an diesem Punkt bleibt die strenge Monotonie bestehen. denn egal wie dicht ein zweiter Punkt neben diesem sein kann, hat er nicht mehr die gleiche Steigung.