Welche Funktion ist sowohl monoton fallend als auch monoton steigend?
Ich suche eine Funktion die sowohl monoton fallend als auch monoton steigend ist.
3 Antworten
Jede konstante Funktion erfüllt das.
============
Sei c ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl. Betrachte dann dazu die konstante Funktion
f: ℝ → ℝ, x ↦ c.
Die Funktion f ist dann sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
Für alle a, b ∈ ℝ mit a ≤ b ist dann nämlich einerseits f(a) = c ≤ c = f(b), weshalb f monoton steigend ist, und andererseits f(a) = c ≥ c = f(b), weshalb f monoton fallend ist.
============
Wenn du nur eine konkrete Funktion brauchst würde ich einfach die Nullfunktion (für c = 0) als Beispiel nehmen. Also:
f: ℝ → ℝ, x ↦ 0
Eine Parabel z.B. f(x)=x². Die ist links vom Scheitel monoton fallend und rechts vom Scheitel monoton steigend.
Die Experten sind sich uneinig, das liegt daran, dass die Frage nicht präzise gestellt ist. Zur Begrifflichkeit "monoton steigend" oder "monoton fallend" gehört (wie auch zur Funktion selbst) ein Definitions- oder Gültigkeitsbereich. Die Begriffe "monoton steigend" oder "monoton fallend" werden auch nicht immer einheitlich verwendet, meist im Sinne "<=" oder ">=", manchmal aber auch im Sinne "<" oder ">".
Wenn du also Monotonie im Sinne "<=" oder ">=" auf ganz R suchst, dann bleibt nur die Parallele zur x-Achse. Wenn das Monotonieverhalten abschnittsweise ändern darf, dann gibt es mehr Möglichkeiten.