Gibt es eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch A (2/0) geht, in W (2/0) einen Wendepunkt hat und an der Stelle x = 3 ein Maximum besitzt?
Welche Bedingungen müssen aufgestellt werden?
6 Antworten
Ganz sicher geht das und es gibt wahrscheinlich sogar mehrere Funktionen, da du noch offene Parameter hast.
Sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast? A(2|0) ist überflüssig, da die Information in W(2|0) enthalten ist.
Die Frage war allerdings nicht, welche Funktion
die Bedingungen erfüllt, sondern ob es eine
solche Funktion gibt und welche Bedingungen
"aufgestellt"(sic!) werden müssen. Vielleicht
ist nach der fehlenden Bedingung gefragt.
Ich komme auf folgende Rechnung:
x = 3 → Maximum bedeutet, dass f'(3) = 0 ist. f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b f'(3) = 0 = 27a + 6b + 3 => 0 = 9a + 2b + 1 (I) W(2|0) bedeutet, dass f''(2) = 0 f''(2) = 0 = 12a + 2b (II)
II-I
0 = 3a -1 a = 1/3 b = -2
Das heißt, man kann c oder d beliebig wählen.
Leider falsch, in Gleichung I muss es heißen +c/3 statt +1
Außerdem hast du die Bedingung f(2)=0 vergessen.
Stimmt, ist falsch, aber weder +3 noch +c müsste richtig sein. Müsste es nicht + 3c heißen?
Das passiert, wenn man zu viele Dinge auf einmal macht. Hätte mich nur auf die Aufgabe konzentrieren sollen.
Die Bedingung f(2) = 0 habe ich weg gelassen, weil ich auf die Schnelle keinen Mehrwert gesehen habe. Mit meiner falschen Rechnung gedacht bringt mir f(2) = 0 nichts. Setze ich das in die Ursprungsfunktion ein, sind die Parameter c und d weiterhin offen.
Also Gleichung I ist ja 0 = 9x² + 2b + 1 bei mir oben und es müsste dort eigentlich 0 = 9x² + 2b + c stehen.
Ich glaube, jetzt haben wir es. ^^
Der Fehler entstand aber schon eine Gleichung davor, bevor die Gleichung durch 3 geteilt wurde.
Ich weiß zwar nicht wieso, aber Willy hat ohne Streckungsparameter auch für a = 1/3 und für b = -2 heraus. ^^' Ich hoffe mal, dass das kein Zufall ist.
Der Streckungsparameter ist hier -a. Ohne einen solchen sind die Extremstellen vertauscht. a>0
Hallo,
eine eindeutige Lösung gibt es zwar nicht, weil eine Bedingung fehlt; trotzdem findet man leicht alle Lösungen.
Eine Polynomfunktion dritten Grades ist immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt, der hier gegeben ist.
Wenn also bei x=2+1 ein Maximum liegt, muß bei x=2-1 ein Minimum liegen.
Die Ableitung der gesuchten Funktion hat also die beiden Nullstellen x=1 und x=3.
Sie muß also f'(x)=(x-1)*(x-3) lauten.
Ausmultiplizieren ergibt f'(x)=x²-4x+3
f(x) muß eine Stammfunktion dazu sein, also:
f(x)=(1/3)x³-2x²+3x+C
Wir wissen von f(x), daß f(2)=0, also:
8/3-8+6+C=0
2/3+C=0
C=-2/3
So kommen wir zunächst auf f(x)=(1/3)x³-2x²+3x-2/3
Allerdings haben wir bei dieser Funktion das Maximum bei x=1 und das Minimum bei x=3.
Durch Umkehren aller Vorzeichen aber kommen wir auf das Gewünschte:
f(x)=-[(1/3)x³-2x²+3x-2/3]
Allgemein kannst Du hinter das Minuszeichen noch eine Zahl a>=0 setzen, um auf alle möglichen Funktionen mit den gewünschten Bedingungen (Kurvenschar) zu kommen:
fa(x)=-a*[(1/3)x³-2x²+3x-2/3]
Herzliche Grüße,
Willy
danke dir für deine ausführliche Antwort. jetzt habe ichs verstanden.
Also ich fasse mal die Infos in Mathesprache zusammen:
f(2)=0
f'(3)=0
f''(2)=0
Funktion: ax³+bx²+cx+d
Ableitung: 3ax²+2bx+c
2. Ableitung: 6ax+2b
Dann die drei Punkte einsetzten und schauen, ob das lineare Gleichungssystem eine oder mehrere Lösungen hat. Das geht z.B. mit einer Matrix.
1. Gleichung 8a+4b+2c+d=0
2. Gleichung 27a+6b+c=0
3. Gleichung 12a+2b=0
Das dann als Matrix in den rechner eingeben.
Dann staunen, dass man mit drei Gleichungen
nicht vier Variable bestimmen kann.
Du musst das ganz anders angehen. Was euch Lehrer, Bücher und Internet systematisch verheimlichen.
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Diktat für Formelsammlung, Regelheft & Spickzettel ( FRS )
" alle kubischen Grafen verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "
Du kannst also eine Info ausschlachten, von der deine Lehrer gar nicht wollen, dass du sie siehst:
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ( 1.1a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ( 1.1b )
Die Mittelwertbeziehung ( 1.1 ) ergibt sich direkt aus obiger Spiegelsymmetrie.
x ( w ) = 2 ; x ( max ) = 3 ===> x ( min ) = 1 ( 1.2 )
Damit kennen wir schon BEIDE Nullstellen der ersten Ableitung; ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist.
f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 ) = ( 2.1a )
= k ( x ² - 4 x + 3 ) ( 2.1b )
Bisher haben wir nur eine Unbekannte, den ===> Leitkoeffizienten k. Was bleibt zu tun? " Aufleiten " , ===> Integral, ===> Stammfunktion
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C ( 2.2 )
Dabei ist C die ===> Integrationskonstante; wenn du die Nullstelle bei x = 2 einsetzt, gibt das nur eine Bedingungsgleichung mit zwei Unbekannten.
Die allgemeine Form lautet:
y=ax³+bx²+cx+d
Damit hast du vier Unbekannte, aber auch vier Angaben.
danke die allg. Form kenne ich habe aber nur 3 Bedingungen brauche 4 Bedingungen
Nein du hast 4 Bedingungen, da es für einen Wendepunkt ja zwei Bedingungen gibt.
"Eine eindeutige Lösung gibt es zwar nicht,
weil eine Bedingung fehlt" sagt genau das, was ich sage.
Mit vier - unabhängigen - Bedingungen hätte
man eine eindeutige Lösung. Da eine fehlt, hat man
nur drei, denn der Wendepunkt liefert nur eine.
brauche 4 habe nur 3 Bedingungen: f(2)=0 f ' '(2)=0 f '(3)=0