Steckbriefaufgaben - Mathematik Oberstufe
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Der Graph hat de Wendepunkt W (0/1) und berührt die Parabel mit der Gleichung y = x² + x im Scheitelpunkt.
Also ax³ + bx² + cx+d. Das heißt ich brauche 4 Bedingungen. Ich finde aber nur zwei:
f(0) = 1
f ''(0) = 0
Kann mir jemand bitte helfen. Ich schreibe Montag eine Matheklausur und sitze an der AUfgabe schon ewig.
5 Antworten
Hallo !
Ein Wendepunkt ist ein Punkt an dem gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) ≠ 0
Allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion dritten Grades -->
y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d
f´(x) = 3 * a * x ^ 2 + 2 * b * x + c
f´´(x) = 6 * a * x + 2 * b
f´´´(x) = 6 * a
Da am Wendepunkt W (0 | 1) die zweite Ableitung den Wert Null hat ergibt sich -->
6 * a * 0 + 2 * b = 0
b = 0
Das kann man direkt in die allegmeine Form einsetzen -->
f(x) = a * x ^ 3 + c * x + d
Nun gilt außerdem f(0) = 1
f(0) = a * 0 ^ 3 + c * 0 + d = 1
d = 1
Auch d kann man wieder direkt einsetzen -->
f(x) = a * x ^ 3 + c * x + 1
Die Parabel die zusätzlich bekannt ist hat die Gleichung h(x) = x ^ 2 + x
h´(x) = 2 * x + 1
2 * x + 1 = 0
x = -1 / 2
y = (-1 / 2) ^ 2 - 1 / 2 = - 1 / 4
Scheitelpunkt S (-1 / 2 | - 1 / 4)
Bedeutung des Begriffes "Berührung" -->
http://de.wikipedia.org/wiki/Ber%C3%BChrung_%28Mathematik%29
Es gilt also -->
f(x) = h(x) und f´(x) = h´(x) an der Stelle S(x, y)
Das entstehende Gleichungssystem lautet -->
I.) a * x ^ 3 + c * x + 1 = x ^ 2 + x
II.) 3 * a * x ^ 2 + c = 2 * x + 1
Mit dem Scheitelpunkt S (-1 / 2 | - 1 / 4) an der Stelle x = - 1 / 2 ergibt sich -->
a = -5 und c = 15 / 4
a und c kann man wieder in f(x) einsetzen -->
f(x) = -5 * x ^ 3 + (15 / 4) * x + 1
Das ist dein Endergebnis !
LG Spielkamerad
Scheitelpunkt bestimmen: f(x)=x² + x f'(x)=2x +1 notwendige Bedingung 0=2x+1 |-1 -1=2x | :2 -0,5=x Hinreichende Bed kannste dir eig sparen,weil du weisst, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt. aber f''(-0,5) muss ungleich 0 sein und die 2.Ableitung ist ja 2 2>0 also Tiefpunkt
y-Wert des Tiefpunkts: f(-0,5)=0,25-0,5 = -0,25 Also ScheitelPunkt SP(-0,5 | -0,25)
berührt die Parabel mit der Gleichung y = x² + x im Scheitelpunkt.
Da drin sind die anderen beiden Bedingungen. Überlege dir: Was bedeutet "berührt" für die Funktion (und ihre Ableitungen)? Wo ist denn der Scheitelpunkt?
Ein möglicher Ansatz: Stell dir eine Parabel vor. Was für eine Ableitung hat sie am Scheitelpunkt?
ok ich hatte die 1 in der ableitung vergessen . jetzt ergibts sinn
Ersichtlich muss man Ableitungen von 2 Funktionen bilden.
Denn wenn die beiden sich berühren, müssen irgendwo die Steigungen ihrer Tangenten übereinstimmen sowie ein gemeinsamer Punkt da sein.
Wenn Du die Koordinaten x₀ und y₀ des Scheitelpunkts gefunden hast, bekommst Du
mit f(x₀) = y₀ und f '(x₀) = 0 die anderen beiden Bedingungen.
Ja das hab ich auch schon rausgefunden. Aber wie berechnet man den Scheitelpunkt??
In der Mittelstufe findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung.
In der Oberstufe durch Ableiten der Funktion und Null setzen der Ableitung.
Eleganter hier: y = x² + x = x (x + 1) , also sind die beiden Nullstellen
x = 0 und x = – 1. Dann liegt x₀ = – 0,5 in der Mitte dazwischen.
In der Mittelstufe findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung.
In der Oberstufe durch Ableiten der Funktion und Null setzen der Ableitung.
Eleganter hier: y = x² + x = x (x + 1) , also sind die beiden Nullstellen
x = 0 und x = – 1. Dann liegt x₀ = – 0,5 in der Mitte dazwischen.
Das ist eben mein Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich den Scheitelpunkt berechnen kann. Kannst du mir helfen?