Frage von rodney12345678, 82

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat einen extrempunkt in E(-2|0) und in W(-1|-2) einen Wendepunkt. Wie ermittle ich nun die funktion dazu?

Ich weiß das ich Bedingungen brauche die ich in f(x)=ax^3+bx^2+ cx+d für x einsetze. 2 sind ja praktisch schon gegeben f(-1)=-2 und f(-2)=0.... Aber wie bekomme ich denn jetzt weitere Bedingungen um das gausverfahren anwenden zu können?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 54

Du hast (I) f(-2)=0; (II) f(-1)=-2; (III) f'(-2)=0 und (IV) f''(-1)=0
somit 4 Gleichungen bei 4 Unbekannten; da sollte was gehen...

Kommentar von rodney12345678 ,

Erklär mal bitte wie du auf die kommst ich verstehe nicht wie man darauf kommt 

Kommentar von Rhenane ,

denke mal, Du kennst mittlerweile die Antwort, aber trotzdem:

(I) und (II) sind die Gleichungen für die beiden gegebenen Punkte E und W.
(III): die Funktion hat bei x=-2 einen Extrempunkt, also muss f'(-2)=0 sein.
(IV): die Funktion hat bei x=-1 einen Wendepunkt, Bedingung hierfür ist, dass f''(x)=0 (also f''(-1)=0) sein muss

Antwort
von Vanessatrn, 50

Wie sieht es aus, wenn du f'(-1)=2 oder f''(-2)= 0 verwendest? 
Denn da wo f einen Extrempunkt hat, hat f' ja eine Nullstelle :p Ist bei mir aber auch schon ein bisschen her

Kommentar von rodney12345678 ,

Ja die erste Ableitung hat ja Steigung 0 wenn man Extrempunkt einsetzt aber wie kommst du dann auf f''(-2)=0? 

Kommentar von Vanessatrn ,

Es gilt, wenn f einen Wendepunkt hat, dann hat f'' an dieser Stelle eine Nullstelle. So berechnet man den ja auch :p

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 22

Hallo,

sammle zunächst einmal Informationen und setze sie in die Sprache der Funktionen um:

Funktion 3. Grades:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Punkt (-2|0):

f(-2)=0: -8a+4b-2c+d=0

Extrempunkt bei (-2|0):

f'(-2)=0: 12a-4b+c=0

Punkt (-1|-2):

f(-1)=-2: -a+b-c+d=-2

Wendestelle an Punkt (-1|-2):

f''(-1)=0: -6a+2b=0

Gleichungssystem erstellen:

-8a+4b-2c+d=0
-a+b-c+d=-2
12a-4b+c=0
-6a+2b=0

Daraus kannst Du eine Matrix bauen und sie nach dem Gaußverfahren lösen:

-8  4 -2 1 0
-1  1 -1 1 2
12 -4  1 0 0
-6   2  0 0  0

a=1, b=3, c=0, d=-4

Die Funktionsgleichung lautet somit:

f(x)=x³+3x²-4

f'(x)=3x²+6x

f''(x)=6x+6

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von rodney12345678 ,

Aber wie bist du auf die Bedingungen denn  gekommen ? 

Kommentar von Willy1729 ,

Aus den Angaben Deiner Aufgabe. Habe ich doch in meiner Antwort aufgelistet.

Zwei Punkte sind gegeben: Zwei Bedingungen.

Extremwert bei -2, also f'(-2)=0, dritte Bedingung.

Wendestelle bei -1, also f''(-1)=0, vierte Bedingung.

Vier Gleichungen, vier Unbekannte: Paßt.

Kommentar von rodney12345678 ,

wie kommst du auf a=1?

Kommentar von Willy1729 ,

Die Matrix nach dem Gauß-Verfahren lösen.

Antwort
von FRB12, 31

Hallo, dir eine Lösung zu geben wäre sicher nicht zielführend, daher im folgenden ein paar dinge über die es sich lohnt Gedanken zu machen: 1. Welche Bedingungen muss die Funktion erfüllen um Wendepunkte und Extrema zu besitzen? 2. Wie sehen die entsprechenden Funktionswerte aus? und 3. Können dir die Angaben dir dabei helfen weitere Parameter der Funktion zu ermitteln? Kopf hoch du bist schon auf dem richtigen weg und die ersten schritte sind gemacht.

Antwort
von Whatdoyoulike, 43

Die beiden Punkte sowie bei dem Extrempunkt die erste Ableitung mit dem x Wert des extrempunktes gleich 0 setzen und bei dem Wendepunkt das gleiche mit der zweiten Ableitung

Kommentar von rodney12345678 ,

Ok alles klar aber wie kommst du darauf ? 

Kommentar von Schachpapa ,

Notwendige Bedingung für

  • Extrempunkt: f '(x) = 0
  • Wendepunkt f ''(x) = 0

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