Ganzrationale Funktion f?
Warum hat die ganzrationale Funktion f(x)=ax^4+bx^2+c keine ungeraden Exponenten und warum muss sie eine Funktion 4. Grades sein? Bin verwirrt bei den Hausaufgaben. Danke für jede Antwort
8 Antworten
Dafür gibt es keinen Grund. Das gilt als gegeben, dass da keine ungeraden Exponenten stehen.
Es gibt aber auch ganzrationale Funktionen mit ungeraden Exponenten. Ganzrational bedeutet nur, dass kein x im Nenner steht. Das wäre dann eine gebrochenrationale Funktion.
Kommt auf den Kontext an. Ein Polynom mit nur geraden Exponenten am x hat die Eigenschaft, achsensymmetrisch zu sein. Um der Symmetrieforderung zu genügen, dürfen keine ungeraden Exponenten vorkommen.
Desweiteren lassen sich solche Funktionen durch Substitution von z = x² vereinfacht lösen, wenn man sie nullsetzt. Das ist aber an sich keine "Forderung", sondern macht nur das Lösen einfacher.
Man könnte es so ausdrücken: Um die Gleichung f(x) = 0 durch Substitution lösen zu können, müssen die Exponenten gerade sein.
Das ist aber alles im Nebel gestochert. Wie gesagt müsste man den Kontext kennen.
Grundsätzlich darf es ungerade Exponenten geben. Es gibt keine Regel, die dies verbietet.
Riecht nach einer Modellierungsaufgabe.
Wahrscheinlich ist das Ding symmetrisch zur y-Achse, daher nur gerade Exponenten, und irgendwo steht etwas von einem Wendepunkt oder entweder zwei Maxima oder zwei Minima, deswegen muß es mindestens Grad 4 sein.
Man kann so etwas gut in Form einer Zusatzaufgabe stellen, wenn z. B. ein Schüler zwischen 1 und 2 steht.
Man gibt für normale Funktionen zu wenige Informationen, um diese zeichnen zu können oder Nullstellen berechnen zu können. Der Schüler muss dann aus der Symmetrieeigenschaft die fehlenden Informationen selbst ableiten.
Das ist so wie bei dem Rätsel, indem man irgendetwas berechnen muss und dann mit der Information etwas anfangen muss, dass die Hausnummer der Summe der Lebensalter der Kinder entspricht und das älteste Kind blaue Augen hat.
Hallo,
der Grad einer Funktion wird durch ihren höchsten Exponenten bestimmt. Das heißt, der höchste Exponent deiner Funktion ist 4 und somit ist auch deine Funktion 4 Grades. Warum sie nur gerade Exponenten hat kann ich mir nur so erklären: Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat ist sie Achsensymmetrisch. Hat sie nur ungerade Exponenten so ist sie Punktsymmetrisch. Wenn sie allerdings gerade und ungerade Exponenten hat ist sie weder Achsen- noch Punktsymmetrisch. Deswegen würde ich sagen, dass sie keine Ungeraden Exponenten hat, da sie sonst keine Symmetrie aufweist :)
f(x)=ax^4+bx²+c=ax^4+ 0 * x³ +bx² + 0 * x+c
Höchster Exponent von x ist die 4, also ist es eine ganzrationale Funktion vierten Grades.
Die Funktion f(x)= ax^4 + bx² + c ist eine spezielle Funktion 4. Grades. Sie lässt sich durch die Substitution u = x² auf die quadratische Funktion g(u) = au² + bu + c "ummodeln". Diese kann man nach den bekannten Methoden lösen und aus den beiden Lösungen u1 und u2 durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Funktion f(x), nämlich x1 = + Wurzel(u1), x2 = - Wurzel(u1), x3 = + Wurzel(u2) und
x4 = - Wurzel(u2) ermitteln.
Die allgemeine Funktion 4. Grades f(x) = ax^4 + bx³ +cx² +dx +e lässt sich mit den schulisch angewandten Methoden nicht lösen.
Nachtrag. Mit "Gleichung lösen" ist gemeint: Die Nullstellen finden, also die Lösung der Gleichung g(u) = 0 bzw. von f(x) = 0 finden.
Hier bietet es sich an x² durch y zu substituieren.
Dadurch erhält die Funktion die Form:
f(y)= Ay²+By+C
Diese Form kann mit der PQ Formel gelöst werden, wenn vorher durch A dividiert wird.
Vermutlich war das die Intention desjenigen, der die Aufgabe formuliert hat.
Und vermutlich ist das auch der Grund, warum der Aufgabensteller nur geradzahlige Exponenten zugelassen hat.
Am Ende nicht vergessen wieder zurück zu substituieren.
In der Aufgabe steht als Frage, wieso es keine ungeraden Exponenten geben darf, muss doch einen Sinn haben