Funktion 5 Grades, punktsymetrisch?
Hi, wenn man eine Funktion 5 Grades hat: f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f und diese Punkt symetrisch ist lautet die Funktion dann doch: f(x)= ax^5+cx^3+ex+f . Oder heißt lautet sie f(x)=ax^5+cx^3+ex ?
4 Antworten
das kannst du dir ganz einfach herleiten:
ne funktion f(x) ist grundsätzlich punktsymmetrisch zum ursprung wenn
f(x)=-f(-x) ist
setz doch einfach mal deine allgemeine funktion ein:
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = -[-ax^5+bx^4-cx^3+dx^2-ex+f]
bedenke dabei dass (-x)^n=-x^n, wenn ungerade und x^n, wenn n gerade.
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = ax^5-bx^4+cx^3-dx^2+ex-f
die ausdrücke mit ungeradem exponenten kann man direkt wegstreichen da auf beiden seiten vorkommend.
bx^4+dx^2+f=-bx^4-dx^2-f
vergleich einfach mal links und rechts jeweils die koeffizienten vor gleichen potenzen, dann wird dir shcnell klar dass gelten muss
bx^4=-bx^4
dx^2=-dx^2
f=-f
DIes wird aber nur erfüllt wenn b=d=f=0.
fallen also die potenzen 4,2 und 0 direkt weg,namentlich alle gerade potenzen.
Demnach muss deine Funktion die form haben:
f(x)=ax^5+cx^3+ex
Insofern ist deine letztere vermutung, die ohne das f, richtig :-)
im zweifel einfach die bedingung f(x)=-f(x) für eine punktsymmetrische funktion nehmen und deine funktion mal allgemein einsetzen, da klärt sich meistens gleich welche ausdrücke direkt wegfallen.
Ohne f, denn dort steht (gedacht) f*x⁰ = f * 1 = f
0 ist gerade.
Ja und eine an der y-Achse verschobene Kurve ist nicht mehr zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch. An der Achsensymmetrie hingegen ändert diese Verschiebung nichts.
Allerdings war nicht von "zum Ursprung punktsymmetrisch" die
Rede, sondern nur von punktsymmetrisch.
.... das war dann suboptimal, aber so bist Du nun mal - der mußte jetzt sein !
Rhenane hat beide Fälle mit seiner Antwort erfaßt.
Nicht bei mathematischen Themen.
So wie die Frage gestellt war, ist deine Antwort schlicht falsch.
doch.
hast du kein f dabei, ist sie punktsymmetrisch zum ursprung.
mit f dabei ist sie hingegen puntksymmetrisch zum punkt (0,f).
(da eben um f nahc oben verschoben)
das macht schon einen unterschied!
(und wenn dein x noch um k nach rechts verschoben wird, liegt der symmetriepunkt bei (k,f))
Soll sie punktsymmetrisch zum Ursprung P(0|0) sein, dann ohne f (dann ist es eine ungerade Funktion), ansonsten mit f, dann ist sie punktsymmetrisch zum Punkt (0|f).
Ohne f weil f eigentlich x^0 ist und das wäre dann ein gerader Exponent also achsensymmrtrisch
Aber die Form der Kurve wird davon doch nicht beeinflusst. f verschiebt die Kurve nur in y-Richtung.